III. — Problème de Hallby
348. Pour arriver à la solution. du problème qui porte ce nom, nous allons démontrer, d'après M. de Jonquières, le théorème suivant énoncé par Nicollic (Jig. 101 ) :
D'un foyer F d'une conique, décrivons un cercle de rayon quelconque r et menons à deux points quelconques A et À' de la conique les rayons FA, F' A' qui déterminent sur la circonférence les points correspondants a et a'; le point D, où, concourent AA' et ad y est sur une droite DE sécante commune au cercle et à la conique, et perpendiculaire à l'axe focal.
De plus, soit B le milieu de AA' et b le point ou FB coupe aat%
la perpendiculaire abaissée de b sur AA' coupe l'axe focal en
FP c un point P qui est constant, et tel que — = - = e. (Ici c est
la demi-distance des foyers, et a la moitié de Taxe focal.)
Pour démontrer la première partie de ce théorème, observons que le centre d'un cercle étant aussi son foyer, le point F est un centre d'horaologie (346). Donc les droites homologues AA', aa! se coupent sur Taxe d'homologie (336), et Ton sait que cet axe est une sécante commune aux deux coniques (340). Enfin, la symétrie des deux courbes montre que cette sécante commune est perpendiculaire à Taxe focal.
349. Observons que chaque rayon vecteur coupe la conique en deux points, tels que A et Ai, et la circonférence en deux autres points a et a t ; de même pour l'autre rayon. Les points D et D,, où concourent deux cordes AA' et aa!, ou bien A, A, et a^d x , qui sont d'un même côté du foyer, sont sur une même sécante que nous avons représentée comme passant par deux points communs réels. Mais on sait que deux coniques ont toujours au moins deux sécantes réelles; il y aura ici, comme second axe d'homologie correspondant au centre F d'homologie (343), une autre sécante passant par deux points communs imaginaires , et où concourront les cordes homologues du cercle et de la conique placées de côtés opposés du foyer, telles que AA' et a ï d l , Ai A', etaa'; mais les limites de la figure n'ont pas permis de tracer cette autre sécante.
