Quant à la seconde partie du théorème, imaginons dans

174 CBAP1TEE XIII.

la conique une série de cordes parallèles à AA' ; les milieux de ces cordes sont sur le diamètre OB qui coupe la conique en deux points opposés T et T'. La droite homologue de OB joipdra le point b, homologue de B, au point P, homologue du centre O, qui sera sur la direction FO (336), c'est-à-dire sur l'axe focal. Enfin, nous indiquerons par t et t' les points où 6P rencontre la circonférence. Comme / et /'sont respectivement homologues aux points TetT', les lignes F*T, FT t' sont droites (336), en sorte que les angles TFT', t¥t' sont identiques.

Cela posé, imaginons par le point F une droite parallèle à ÀÀ', c'est-à-dire aux tangentes en T et en T'. Soit aussi F' l'autre foyer, le parallélogramme FTF'T' montre que TF' est parallèle à FT'; donc, d'après les propriétés fondamentales de la tangente, cette parallèle, menée de F à AA', sera bissectrice de l'angle TFT' = /Ff. Mais, puisque F*'==F* comme rayons d'un même cercle, celle bissectrice sera perpendiculaire à t?> c'est-à-dire à bP; donc aussi 6P sera perpendiculaire à AA'.

351. Enfin, il reste à calculer sur FO la position du point constant P, correspondant de 0. L'axe non focal OC étant parallèle à l'axe d'homologie DI),, il en sera de même pour Pc, homologue de OC (337). La ligne FcC étant droite, puisque c et C sont homologues, on a *

FP FO Fc~~ FC ; mais

Fc = r, FO = c,

et l'on sait que FC est égal à a, moitié de l'axe focal ; donc

FP c__

352. Ce qui précède permet de déterminer le second foyer F' de la conique. Menons de l'un des deux points pris sur cette courbe, tel que A', le diamètre A'O, dont l'homologue a'P coupe encore la circonférence en g. On voit que Fg- passera au point G, homologue de g, et qui ,est la seconde intersection de A'O avec la conique; du reste, le point g est connu

FIGUR19 H0M0L0GIQUBS. 1^5

puisqu'il se trouve sur a' P. Dès lors, le parallélogramme A'FGF' montre que A'F' est parallèle à F g.

353. On peut encore démontrer sur cette figure le théorème accessoire que voici ;

La médiane AB d'un triangle FAA' coupe la corde aa' d'un arc de cercle de rayon F» en un point b tel, que le rapport de ba à ba' est inverse du rapport de FA à FA'.

En effet, soit D l'intersection de AA' et de aa', et considérons successivement les triangles DaA, Da'A' coupés par la transversale F6B.

Nous aurons les deux égalités (2)'

Dft.aF.AB = DB.AF.a6, DB.A'F.a'& = Dft.a'F.A'B.

Multipliant, et effaçant de part et d'autre D6, aF = «'F, AB = A'B, il reste en effet

A'F.a'6==AF.aè

354. Voici maintenant l'énoncé du problème de Halley : Étant donnés trois points A, A', A" et un foyer F d'une conique, construire la courbe.

Soient D et E les points où se coupent AA' et aa', A' A" et a! a" \ seulement, D et E devant être sur la même sécante commune, nous avons vu (349) que, si AA' et aa* étaient d'un même côté du foyer, il fallait prendre de même A' A" et a! a".

La perpendiculaire abaissée de F sur DE sera l'axe focal : soit B le milieu de AA'; du point b où FB coupe aa 1 nous abaisserons sur AA' une perpendiculaire qui coupera cet axe focal au point P, homologue du centre inconnu de la conique.

Joignons a'P qui coupe en g la circonférence; A'F' parallèle à Fgr coupe FP au second foyer F' : alors est le milieu de FF'. Enfin, c = FO étant connu, on trouve le demi-axe

rc a = FP*

Cette méthode, applicable à des ellipses peu excentriques, telles que les orbites des planètes, remplace la méthode ordi-