IV. — Lieu géométrique

357. «Si par deux points fixes A et B, pris sur une ellipse donnée, on fait passer des circonférences de rayons variables, on demande le lieu géométrique des points M où concourent les tangentes menées à l'ellipse et à chacun de ces cercles

ifig- I0 4)-

Cette question a été résolue géométriquement par M. Gerono (Nouvelles Annales, t. X, p. 4°8). Mais l'analyse ordinaire ne donnerait pas uniquement l'équation du lieu cherché, parce que les quatre tangentes communes, que le calcul indique toujours pour deux coniques, se coupent deux à deux en six points. Cependant il n'y en a que deux qui réunissent des tangentes contenant les coniques dans le même angle ou dans l'angle opposé, et nous avons vu que cette condition est remplie dans Thomologie (3V7). Il fallait donc avoir recours aux formules de cette nature pour n'obtenir, au lieu de cette équation complète, que le facteur du second degré qui seul résout la question : c'est ce qu'a fait M. Breton (de Champ), par le calcul suivant.

Le centre d'homologie entre l'ellipse el un cercle étant le point M du lieu, l'axe d'homologie sera la corde commune AB

178 OUNTK XIII.

qui a pour équjtioii y = ux -h*. Mais l'équation de Taxe d'homologie étant [330}

/jr -f- m/- -f- n — 1=0, on trouvera, en identifiant,

/= — mu, #1 = 1 — /w>;

donc le dénominateur lx* -k- my -+- n des formules d'homologie devient

«Par conséquent, d'après les formules (5), il faudra substituer,

dans l'équation

de l'ellipse, les expressions

x — x *^-zrrrj — —> — rrrr> r=r* +

m(y — ux' — v)-hi J J m(y—ux' — v)-hi

Ici x ê et y ê sont les coordonnées du point M, x 1 eiy celles d'un point de la courbe homologique: il reste à exprimer les conditions nécessaires pour que cette courbe soit une circonférence.

L'équation obtenue par cette substitution est

ou bien

— [a?'(i — mux )-\-mx y — mvxt] 7

■fi [y (1 4-/w/o) — mnyox'— mvy^Y = [m(/ — u#' — v) + i] J .

Mais il est inutile de développer cette équation; il suffit

FIGURES HOMOLOGIQUES. \*j§

d'annuler le coefficient de x'y J et d'égaler ceux de x' 1 et de /", afin que la courbe homologique de l'ellipse soit un cercle. Entre ces deux relations, il faudra éliminer m et il restera l'équation cherchée en x et y 9 . Seulement nous allons, dès à présent, supprimer ces indices.

La première condition donnera, en supprimant le facteur commun 2 m,

x(i-mixx) tiyii + my) mi± n d'où

(x 1 r 2 \ x txr

pU + fc- , ) =a, *F

La seconde condition donne encore

* — , C — L -j Ç-si m 2 a 2 = h — ' , J '

ou bien

Dans le premier membre, remplaçant m ( ~i •+• /G — ! ) P ar sa valeur déjà trouvée - ( — — t£7 ) > <> n a

ce qui se réduit à

Remplaçant encore m par sa valeur et réduisant, on a

qui donne l'équation cherchée

iHtt CBiriTftE un.

I>i%i*ant par

afin de ramener â la forme

on trouve, en identifiant,

a% ~~fr + âw ry l ~ b*-ha*u

ce qui montre que

^///mi fe //lit cherché est une hyperbole homo focale à l'ellipse donnée.

358. Les valeurs de a? et de b\ ne dépendant que de jx et non de v, on voit que le Heu géométrique n'est pas déterminé par la position des points A et B, mais seulement par la direction de la ligne qui les joint. Ainsi toutes les droites parallèles, prises comme cordes communes, donneront la même hyperbole.

On peut donc concevoir que les points A etB soient imaginaires, c'est-à-dire que la corde commune ne rencontre pas l'ellipse ni les cercles homologiques. La question peut même s'étendre à des tangentes communes imaginaires; on comprend ainsi comment l'hyperbole pénètre dans l'intérieur de l'ellipse.

Réciproquement, le même problème proposé pour l'hyperbole donne une ellipse homofocale.

Enfin, à une 'parabole correspond une parabole homofocale égale à la courbe donnée et tournée en sens inverse.

359. On sait (343) qu'un centre M d'homologie correspond à deux axes d'homologie, qui sont des sécantes communes aux deux courbes (340): on n'a représenté ici que celle qui passe par deux points communs réels A et B. Mais on a vu encore (344) que l'intersection de ces deux sécantes est aussi celle des polaires du centre d'homologie dans les deux coni-

FIGURES HOXOLOGÎQUES. l8l

ques : or, ces polaires sont ici les cordes de conlact CD et CD' ; donc ces cordes se couperont en un point G de AB.