V. — Application aux coniques homothétiques
360, L'axe d'homologie de deux coniques est toujours une sécante commune; d'ailleurs, deux coniques ont au moins deux sécantes communes réelles ; mais, pour deux coniques homothétiques, nous verrons que Tune de ces sécantes va à l'infini.
On sait ( 187 ) qu'un centre de similitude est un point de concours de tangentes communes à deux figures homothétiques. Il en résuite que, pour deux figures homothétiques à centre, et, en particulier, pour deux coniques homothétiques, les centres de similitude sont aussi les centres d'homologie. En effet, deux figures homothétiques à centre sont comprises dans un même angle ayant pour sommet le centre de similitude externe, et dans deux angles opposés ayant pour sommet le centre de similitude interne ; cela s'accorde avec ce que l'on a vu pour les centres d'homologie (347).
De plus (189), ces centres de similitude ou d'homologie sont sur la même droite que les centres défigure et y forment une division harmonique,
361. Par conséquent, si les équations S =o, S'=o (341, 342) représentent deux coniques homothétiques.. on voit que l'origine est un centre de similitude en même temps que d'homologie. Donc, en posant, dans S'=o, x* = rx>y= ry 9 on retrouvera S = o, r étant le rapport de similitude.
Cette équation S' = o deviendra
ay* ■+- bxy H- ex 2 — — (p* rx+ </'ry-|-i) J = o,
et comme l'identification avec S = o doit être vraie pour toutes les valeurs de x et de y, on aura
Mais déjà (342) A'
-==*, p'r = p et q'r=q.
-r- = n 5 , l=p'n — p, m=zq'n — q,
l8? CBANTM 1111.
donc
Ainsi, l'équation
Ix -+- iwy-h « — i = o
de Taxe d'homologie (336) devient, avec les signes inférieurs,
équation de la sécante commune aux coniques.
Les valeurs
» = — r, / = — %p y m= — aç donnent alors pour les formules d'homologie
Quant aux signes supérieurs, ils donnent
et Taxe d'homologie correspondant, c'est-à-dire la seconde tangente, est à l'infini. On retombe alors sur les formules ordinaires de l'homothétie
Il résulte de là que l'idée de deux points homologues par homologie est plus générale que celle de deux points homologues par homothétie. Eu effet, les deux signes donnent des points homologiques, tandis que le signe supérieur ne donne que des points homothétiques. De plus, puisque r est différent de l'unité, sans quoi les deux courbes coïncideraient, il est clair que deux points homothétiques ne peuvent coïncider.
362. Les polaires du centre d'homologie pris pour origine, relativement à chacune des coniques données, auront respectivement pour équation (341)
px -+- qy -+- i = o et px -+• qy -+- r = o,
FIGURES H0M0L0UIQUËS. 1 83
d'après les valeurs
le numéro précédent nous a donné aussi
r-f- i px H- qjr -| = o
pour équation de Taxe d'homologie; ainsi ces trois droites sont parallèles, et taxe a" homologie est à égale distance des deux polaires.
Soit donc ce 1 (fig. io5) la ligne des centres de deux coniques homothétiques, S un centre d'homologie, ah et a! b' ses polaires dans les deux courbes, et mn Taxe d'homologie; ab y a'b' et mn sont parallèles, et mn p^sse au milieu des deux autres lignes.
Comme l'équation
px -\-qy-\ = o
a été obtenue sans que Ton ait supposé que S fut le centre externe plutôt que le centre interne de similitude, on voit que cet axe mn d'homologie sera le même pour les deux centres; il passera donc aussi à égale distance de ses polaires de, d r e r , qui lui seront encore parallèles. Rien ne prouve que ee r et dd' concourent au point S.
363. Enfin, la direction de ces quatre polaires et de l'axe d'homologie sera celle des diamètres conjugués avec ceux qui sont sur la droite des centres.
En effet, si les coniques homothétiques sont deux ellipses, on peut toujours imaginer qu'elles aient été obtenues par la projection de deux cercles situés sur un même plan. Alors les diamètres cg, c' g' de ces ellipses, conjugués avec ceux qui se trouvent sur la ligne des centres, sont le$ projections des diamètres des cercles perpendiculaires à la droite qui joint de son côté les centres de ces cercles. Comme ces diamètres perpendiculaires sont parallèles à Taxe radical des deux cercles, c'est-à-dire à leur sécante commune, la projection de cette sécante, qui sera évidemment la sécante commune des
l84 CHAPITRE XIII.
ellipses, se trouvera aussi parallèle à ces diamètres conjugués.
Le théorème s'étendra aux autres coniques par le principe de continuité.
La même considération de projections cylindriques fait roir que trois ellipses, et par suite trois coniques homo thé tiques, ont deux à deux trois axes d'homologie qui se coupent en un même point. C'est la conséquence du n° 74.
364. Nous avons vu que deux coniques homothétiques ont deux sécantes communes réelles parallèles, dont Tune est à une distance finie, et l'autre à une distance infinie. Mais si ces courbes sont concentriques, les deux sécantes se rejoignent à l'infini.
On peut dire alors que ces coniques ont un double contact imaginaire à l'infini, parce que leurs quatre points d'intersection coïncident deux à deux sur la droite située à l'infini.
