VI. — Divers théorèmes

365. Deux coniques qui se touchent en un point ont ce point pour centre d'homologie (345); donc, un angle quia son sommet en ce point intercepte sur les deux courbes deux cordes correspondantes ou homologiques. Si cet angle tourne autour de son sommet, en restant de grandeur constante, les deux cordes envelopperont deux courbes qui seront honqologiques; de sorte que les propriétés de Tune feront connaître celles de l'autre.

Cela posé, concevons que l'une des coniques soit un cercle : l'angle tournant détermine dans ce cercle une corde qui enveloppe un cercle concentrique; donc la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique.

Or, deux cercles concentriques peuvent être regardés comme ayant un double contact sur une droite située à l'infini (364); donc la nouvelle conique a un double contact avec la proposée sur la droite qui, dans cette conique, correspond à l'infini du cercle.

On a donc ce théorème :

Si autour d'un point d'une conique on fait tourner un a/igle de grandeur constante, la corde qu'il intercepte dans la

FIGURES HOMOLOGIQUES. l85

conique enveloppe une seconde conique qui a un double contact avec la proposée.

366. Si l'angle tournant est droit, la corde qu'il intercepte dans le cercle est un diamètre de cette circonférence, c'est-àdire qu'elle passe toujours par le centre du cercle. Or les deux courbes, ayant par hypothèse même tangente au sommet de l'angle, ont aussi même normale dont la direction sera celle du rayon mené du centre du cercle à ce sommet; ainsi ce centre sera sur la normale à la conique donnée, d'où résulte le théorème suivant :

Un angle droit tournant autour d'un point d'une conique intercepte sur cette courbe une corde qui passe par un point fixe situé sur la normale au sommet.

86 cumu u«.

FIGURES HOMOGRAPfllQCES ET CORRÉLATIVES

L — Rédcctiox de l HOMOGBiraiB a l'bobologie.

367. On appelle figures homographiques deux figures dans lesquelles, à des points et à des droites de l'une, correspondent respectivement des points et des droites dans l'autre, de manière que quatre points en ligne droite dans une figure aient leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants de la seconde figure, et que quatre droites issues d'un même point dans la première figure aient leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes de la seconde figure.

D'après celte définition, je dis que x et y, x 9 et y' représentant les coordonnées de deux poinls correspondants de chaque figure, on aura

ax* -h by' -f- c __ a'x' -h b'y' -f- c'

X ~~ <xx'-h*>y'-\-i' *^~" ax* -h(3j' + i

Ces formules, qui contiennent huit constantes, sont aussi générales que si le terme indépendant était quelconque dans le dénominateur, car il est toujours possible de supposer, comme nous l'avons fait, qu'on ait divisé les deux termes de chaque fraction par un même coefficient du dénominateur commun. Il sera d'abord facile de reconnaître que ces formules sont les plus générales qui puissent représenter l'homographie; en effet, la condition qu'une droite corresponde à une autre droite ne serait pas remplie, si les expressions de x et de y n'étaient pas du premier degré, et même si les dénominateurs étaient différents.

Mais il faut aussi démontrer que, réciproquement, les formules précédentes donnent toujours des figures homogra-