FIGURES H0M0GRAPWQUB& ET CORRÉLATIVES

phiques, c'est-à-dire sur lesquelles on vérifie les égalités de rapports anharmonlques exigées par la définition.

368. Pour commencer la démonstration de ce théorème, nous allons faire voir que deux figures déterminées par les relations précédentes proviennent, sans déformation, de deux figures homologiques; c'est-à-dire que Von peut toujours, dans le plan commun, placer l'une d'elles de manière qu'elle soit homologique avec Vautre.

Nous supposerons d'abord qu'on a tout ramené à des axes rectangulaires qui donneront toujours des relations du premier degré telles que les précédentes. Examinons ensuite quel mouvement la première figure peut faire dans le plan commun sans se déformer.

Chaque point P de cette figure (fig. 106) pourra subir un mouvement de translation de P en H, mouvement déterminé par les quantités PA = A, AH = B. Comme la figure se meut ainsi parallèlement à elle-même, puisqu'elle ne se déforme pas, on voit en effet que la longueur PII et l'angle IIPA sont les mêmes pour tous les points.

Chaque point peut encore être soumis à un mouvement de rotation d'un angle w autour d'un point fixe, mais arbitraire, que nous prendrons à l'origine 0; alors le point P, déjà arrivé en H, viendra en P, en décrivant l'angle II OP, =,&>; comme la figure tourne encore sans se déformer, l'angle w est aussi constant, c'est-à-dire le même dans le même temps pour tous les points. Enfin, nous indiquerons par p la distance

on == op„

et par l'angle Pi0.r, variable d'un point à l'autre. Le point P', correspondant de P, n'est pas indiqué sur la figure.

Cela posé, les coordonnées de P étant x et j, celles de II sont x 4- A, y -+- B, et celles de Pi sont x t et j,.

La figure donne

#, = pcos0, rt = psin0, et

x-\r A == pcos(0 4-&>)> r-+-B = psin(0 -}-&)); donc

x = .Ticoso) — y^sin» — A, ^=/iCosw-l-#iSinM — B.

l88 CHAPITRE XIV.

Si la figure transportée dans son plan devient, comme on veut le démontrer, homologique à l'autre figure, on aura (335) les relations

d'où Ton tire

X* (lx ê -+-i)-+-mx t y f -+-(n — i)x 9

Ixr -+- my' -+- n

Transportant ces valeurs dans l'expression précédente de or, et observant que les formules établies donnent

k ax 1 '■+- br 1 H- c #,cos« — r,sm« — A = — ; ^-7 5

' on a

/x' h- irçr' -+- 11 ar' -h &/' •+- c

"a^ + jS/'+r

Le théorème sera démontré si cette relation peut se vérifier pour toutes les valeurs de x' et de y'.

Observons d'abord que, si les deux dénominateurs diffé- 1 raient autrement que par un facteur constant, la réduction donnerait des termes du second degré en x' et y', de sorte que l'identification deviendrait impossible. On posera donc

l = an, m = (3n,

et il ne restera plus qu'à identifier dans les numérateurs le coefficient de x\ celui de y r et le terme indépendant. On trouve ainsi

(1) a/i = an.M-|-tosa),

(2) fc/i = (3n.M-+- sinw,

( 3 ) cn=:(n — 1 ) M — A,

en posant

M = # cosû)— ■ josinw — A.