II. — Réduction de i/homologie à la perspective

369. Ainsi, nous avons démontré que les formules du n° 367 correspondent toujours à deux figures, qui deviennent homologiques par le mouvement de Tune dans le plan commun. Pour achever de démontrer la proposition réciproque qui termine ce numéro, il reste à faire voir par l'analyse, comme nous l'avons annoncé au n° 337, que l'homologie est un cas particulier de la perspective, théorème déjà démontré par la Géométrie (331).

Il faut donc prouver que deux figures homologiques peuvent toujours être considérées comme deux figures perspectives dont l'une a été rabattue sur le plan de l'autre, la ligne de terre devenant l'axe d'homologie.

IÇO OUMTftE IPT.

Nous prendrons pour plan des jrr fig. 107 1 celui de l'objet, et pour axe des j- l'intersection de ce plan avec celui du tableau, c'est-à-dire la ligne de terre, l'angle de ces deux plans étant *». Enfin le plan des zx sera le plan mené perpendiculairement à celui des xy par la position S de l'œil ; on aura donc pour ce point y x = o, les autres coordonnées de S étant x t et 2,.

Soit m' un point quelconque de l'objet, la droite Sm* perce le tableau au point m; soit le plan mnp perpendiculaire sur Or*, on voit que, si le tableau se rabat sur xoy, le point m vient en M à la distance »M = «m. Soient donc X* et/*, X et Y les coordonnées des points m / et M pour lesquels 1? et Z sont nuls, il s'agit de démontrer qu'il existe des relations cf homologie entre ces quantités x* et j/ J 9 X et Y. Les coordonnées du point m étant x, y, z, on a, pour équations de S www',

Xy — x y t — — y z x —— z ou plutôt

X\ ^—~ x y *» 1 — z Le point m donne

— = tangw;

donc l'équation du plan du tableau est z = xtango>; mettant cette valeur dans les équations de la droite, on trouve

z x x* np = x =

*i+ ('x' — a:i)tang&) et

„rk m r'(z, — -r.tangto)

y 2 1 -h(a/ — .r.) tango

Soient #♦, y. les coordonnées du point que nous devrons déterminer comme centre d'homologie ; nous allons d'abord reconnaître quejt= o. En effet, il est clair que Y=y; donc

Y z x — x x tango) 1

y' z x — x x tang w + a;' tang « x* tang m '

z x — x x tang ro