QUADRILATÈRE
383. Si plusieurs coniques sont circonscrites à un même quadrilatère, les polaires d'un point quelconque P, prises relativement à ces coniques, passent par un même point.
L'équation d'une conique a six coefficients, mais comme on peut toujours la diviser par un terme, tel que le terme indépendant, on peut supposer ce terme égal à l'unité et l'équation sera mise sous la forme
ay 2 -f- bxy -+- ex* -f- dy -+- ex -H 1 = o.
Cela posé, nous allons établir les conditions nécessaires pour que la conique passe par les sommets d'un quadrilatère donné. Mais, pour simplifier les calculs, rious ferons passer
lOI CHAPITRE XIV.
l'axe x par deux de ces sommets À et A', et Taxe Oy par deux autres B et B' (la figure n'est pas faite). Soit donc
OA = a, OA' = a\ OB = (3, OB'=(3';
on voit que oc et a', (3 et (3' sont les racines des équations cet 2 + ea + i = o, a(3 a -H rf(3 -I- i = o,
c'est-à-dire que - et -y» -^ et ^ sont les racines des équa-
OL CL p p
tions
Donc
et de même
a= p' rf= -(W) -
Observons qu'aucune des quantités a, a', (3, (3' ne sera nulle, sans quoi la conique aurait trois points en ligne droite.
Remarquons aussi que le coefficient b reste indéterminé, ce qui montre, comme l'énoncé le suppose, qu'on peut faire passer une infinité de coniques par quatre points donnés. Ainsi, l'équation devient
£ + fa y + £. r Q. + £) x (l + i F ) + I= o.
c'est-à-dire que a, <?, d, e sont connus.
Alors, soient x x , /, les coordonnées du point quelconque P ; la polaire de ce point a pour équation (67)
y[%ay x -t-for, -t-d) + x(icx x -\- by x -f- e)-\- dy x -\- ex x -\-i~ o, fH si nous posons les deux équations de lignes droites
y(nay x -f-rf) -f- x(icx x H- e) H- rfri -\-ex x H- 2 = o
et
x x y-hy x x = o,
il est certain que le point F, où se couperont les deux droites
FIGURES H0M0GRAPU1QUB9 ET CORRÉLATIVES. loS
ainsi représentées, appartiendra à la polaire du point P, quelle que soit la valeur de b dans l'équation de la conique.
Ces deux droites étant les mêmes pour toutes les coniques circonscrites, le théorème est démontré; mais nous observerons que l'équation .TijH- xy\ représente la polaire du point P relativement à l'angle des coordonnées, puisque l'ensemble des deux axes a pour équation #7 = 0.
