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386. Les points de concours des côtés opposés d'un hexagone inscrit aune conique sont en ligne droite {Jig. 109).

Considérons d'abord le cercle circonscrit à l'hexagone ABCDEF. Si nous indiquons les côtés FA, AB, . . par les chiffres 1,2, 3, £> 5, 6, il est clair que Ton aura pour côtés opposés 1 et 4> 2 et 5, 3 et 6; ces côtés donnent les points de concours N, L et M, et je dis que la ligne NUI est droite. Pour le démontrer, considérons le triangle RPQ formé par les côtés impairs et coupons-le successivement par les côtés pairs FEM, ABL, DCN, considérés comme transversales. Il vient ainsi ( 2 )

PE.QF.RM=PM.RF.QE,

QA.RB.PL=QL.PB.RA, PD.QN.RC=PC.RN.QD.

Multipliant et observant que les produits PE.PD et PB. PC, QF.QA et QE.QD, RB.RC et RA.RF sont égaux deux à deux par le théorème des sécantes, il reste

RM.PL.QN = PM.QL.RN.

Par conséquent (4), les points N, L, M sont une transversale de ce même triangle RPQ.

Ce théorème, étant démontré pour le cercle, se conclut, au moyen de la perspective, pour une conique quelconque. Cet énoncé est dû à Pascal.

387. Ce théorème peut encore se mettre sous la forme suivante :

SoitMNC un triangle variable dont les côtés sont assujettis