THÉORÈME DE PASCAL, ETC

respectivement à passer par trois points fixes L, B, D, et dont les sommets M et N s'appuient sur deux droites fixes MF et NF; le lieu du troisième sommet C est une conique qui passe en F, en B et en D, ainsi qu'aux points A et E, où BL coupe FN, et où DL coupe FM. Nous généraliserons ce théorème (393).

388. En renversant le théorème de Pascal, observons que les six points A, B, C, D, E, F, où se coupent ainsi deux à deux des couples de droites partant de trois points N, L, M situés en ligne droite, sont sur une même conique. Or, ces couples se coupent aussi aux points R, V, P, T, Q, U ; donc ces six autres points sont aussi sur une conique.

Du reste, on petit encore combiner ces douze points de bien des manières: six d'entre eux seront sur une conique si Ton évite d'en prendre trois en ligne droite. D'ailleurs, rien n'exige que l'hexagone soit convexe.

H. — Cas particuliers.

389. Pentagone inscrit (fig. no). — Supposons qu'un côté de l'hexagone inscrit, par exemple celui qui porte le chiffre 6, devienne nul, c'est-à-dire dégénère en tangente, cette tangente rencontrera le côté 3 en un point M, sur la droite LN, où se coupent déjà a et 5, i et 4*

Alors, l'hexagone dégénérant en pentagone, on voit comment on pourra mener une tangente à un point donné d'une conique dont on a déjà quatre points.

390. Quadrilatère inscrit. — On peut supposer d'abord que les deux côtés nuls sont des tangentes à deux sommets consécutifs b, c du quadrilatère (fig. m).

Mais considérons surtout le cas de la fig. 112, où les côtés nuls sont les tangentes à deux sommets opposés b et rf. On voit alors que dans un quadrilatère inscrit à un conique, les côtés opposés et les tangentes aux sommets opposés se coupent sur une même droite.

En effet, il est évident par la symétrie que les tangentes en a et en c se couperont aussi sur MN.