VII. — Faisceaux mobiles

399. Nous avons vu (112) que si l'on joint quatre points fixes A, B, C, D d'une conique à deux points quelconques M et M' de cette conique, les deux faisceaux des sommets M et M' sont homographiques, c'est-à-dire qu'ils ont les mêmes rapports anharmoniques.

Réciproquement, soient deux faisceaux homographiques M et M', et A, B, C, D les points où se coupent leurs lignes homologues : si, par les cinq points A, B, C» D et M on fait passer une conique, elle passera aussi en M'.

Cela revient à dire que si deux faisceaux homographiques tournent autour de leurs sommets M et M\ les points d'intersection de leurs droites homologues sont sur une même conique avec M et M', que l'on peut maintenant supposer fixes.

THEOREME DE PASCAL, ETC. SOg

(00. Si chaque faisceau a un mouvement quelconque ; si» par exemple, le premier est mobile, le second restant immobile, ou réciproquement, le théorème précédent fait voir que chaque position donne six points placés sur une certaine conique : mais pour que les points appartenant à toutes les positions soient sur une même conique, il faut que le mouvement d'un des faisceaux soit déterminé par celui de l'autre.

401. Autre démonstration du théorème de Pascal. — Considérons un angle fixe AOa et une droite mobile passant par un point fixe S : quatre positions de la droite détermineront sur les côtés de l'angle les points A, B, C, D et a, b, c y d qui auront de part et d'autre le même rapport anharmonique. Donc, si Ton joint les quatre premiers points à un point fixe F, et les quatre autres à un second point fixe/, les faisceaux F et / seront homographiques. Dans ces faisceaux, deux droites homologues FA,jfa se coupent en M suivant une conique passant en F et/; c'est la conséquence des numéros précédents. On en conclut le théorème que voici :

Soit un triangle mobile A aM dont les côtés passent par trois points fixes F, /et S, et dont deux sommets A et a glissent sur deux droites fixes OA et Oa; le troisième sommet M décrit une conique.

Mais nous avons vu (387) que ce théorème était identique avec celui de Pascal ; donc celui-ci est démontré.

402. Description des coniques. — Soient AMB, AM' B {fig. i 19) deux angles de grandeur constante a et a', mais mobiles autour de leurs sommets fixes M et M'; si ces angles tournent de manière que le point A se meuve sur une conique passant aux sommets M et M', le point B décrira aussi une autre conique passant par les deux mêmes sommets.

En effet, les positions consécutives des droites MA, M'A se coupant par hypothèse sur une même conique, passant en M et M', les rapports anharmoniques des positions consécutives de MA seront les mêmes que ceux des positions correspondantes de M'A : c'est une réciproque évidente des n°* 399 et 400.

Mais comme a et a' sont constants, le mouvement angulaire de MB et de M'B sera tel, que les positions consécutives de MB

2IO CBAPITKB XT. — TVEOISm 0B PASCAL, ETC.

feront entre elles les mêmes angles que celles de MA, et les positions de M'B les mêmes angles que celles de M'A* Il en résulte que les faisceaux MB et M'B' sont respectivement homograpbiques avec les faisceaux MA et M'A : donc ils le sont entre eux ; ainsi, d'après les numéros cités» le point B décrit une conique passant aussi en M et en M'.

403. Si nous imaginons que la conique A se réduise à l'ensemble de la droite MM' et d'une autre droite sur laquelle le point A doive glisser, nous avons la construction suivante, due à Newton :

Si deux angles donnés de grandeur AMB= a, AM'B = a', tournent autour de leurs sommets M et M' de manière que le point A soit sur une droite donnée, le point B décrira une conique qui passera par les points M et M'.

Pour trouver la tangente au point M» il faut prendre la position où le point B, après s'être rapproché de M, finit par s'y confondre. Alors M'B venant sur M' M, M'A viendra en M'À„ tel que A, M' M = «\ Soit donc A, MB, = a, MB t sera tangente en M, puisque B et M se réunissent en M.

On trouvera de même la tangente en M' : seulement , en faisant tourner les angles, il ne faut pas intervertir le sens des côtés respectifs, c'est-à-dire ne pas confondre MA et MB» M'A et MB.

CHAPITâE XVI. — THÉORftMIS DB WËWTON £T BE CàftNOT. Sf 1