M H' MI
la même mesure; donc - sï j = || ï - Multipliant, il reste en
effetMH.MH' = Ml'.ML
405. Concevons la section circulaire d'un cylindre droit à base elliptique, afin de passer du cercle à l'ellipse par les projections ; nous établirons le lemme suivant :
Si d'un point du.plan du cercle on abaisse une perpendiculaire sur une droite contenue dans ce plan, et si, de la projection du point donné, on abaisse une perpendiculaire sur la projection de la droite donnée, le rapport de ces deux perpendiculaires est constant, c est-à-dire indépendant de la position du point donné [Jig. 121).
Soit AiB, projection de AB et M, projection de M; soit MH perpendiculaire sur AB et MiH, sur A,B, : menons aussi, parallèlement à la génératrice MM», les droites HA, et H, A qui
?I2 CBAFITBE 1TI.
seront nécessairement dans le plan projetant ABA.B,, de sorte que A, sera sur À,B, et A sar AB.
Noos remarquerons que le plan MH A, a une direction déterminée, puisqu'il est parallèle aux génératrices, et qu'il coupe le plan du cercle suivant une perpendiculaire à AB; donc la droite M t A«, suivant laquelle ce plan coupe celui de la base, a aussi une direction déterminée, c'est-à-dire indépendante de la position du point H : ainsi le triangle M, H, A., rectangle en Hi, est d'espèce donnée. De même, le plan MM, H, est d'une direction déterminée, puisque M, H, est perpendiculaire sur Ai B,; donc sa trace MA sur le plan du cercle aura aussi une direction déterminée, et le triangle MHA, rectangle en H, sera encore d'espèce donnée.
D'après cela, les rapports -~-r et p-r- sont constants : de
plus, le rapport de H,A, à HA est aussi constant, puisqu'il ne dépend que de l'inclinaison mutuelle des droites AB et A,B,.
Donc enfin le rapport '„' est indépendant de la position du
point M.
D, , .. MiHi.MiH, M|I.-M|I|
après ce lemme, on voit que ,,„ M * et — r^ , M| ■
sont deux rapports constants et qu'il en sera de même pour celui qu'on obtiendra en les divisant: mais, dans cette opération, les diviseurs disparaissent (404.), ce qui donne
m,i',.m,i, =const ;
406. Ce théorème, étant démontré pour l'ellipse, s'étend à toutes les coniques parle principe de continuité; on peut donc formuler de la manière suivante le théorème ad quatuor limas:
Dans un quadrilatère inscrit à une conique, le produit des distances d'un point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances de ce point aux deux autres côtés dans un rapport constant.
Rien n'exige que le quadrilatère soit convexe.
407. Le théorème que nous venons de démontrer peut encore se conclure de celui de Desargues (170). En effet, soient pet p? les perpendiculaires abaissées du pointe (^.55)
sur les côtés opposés AD, BC; soient q et q r les perpendiculaires abaissées du même point c sur les autres côtes opposés AB, DC : nous aurons les relations
p = cas\na, p' = caf sina', g = c6sin6, q 1 = cb' sin b' t
ce qui donnera
pp' = ca.ca'. sin «.sina 1 , qq' = cb.cb* .sin fcsin b\
et
/?// ca.ca' sin « . sin a'
qq* cb.cb' sin 6. sin 6'
Soient P et P', Q et Q' les perpendiculaires analogues pour a\ on aura de même
PP' c'a. c'a 1 sina. sin a'
QQ 7 — c'b. cb' ' sin b . sin 6' "
Mais le théorème de Desargues a fait voir que
ca.ca' c'a. c'a' . pp' __ PP'
Î^T^ — 7677* ' nC tf? ~ QQ' *
ce qui démontre le théorème de Pappus.
On voit que c et c' sont ici deux points pris arbitrairement sur une conique quelconque, quoique \&fig* 55 représente un cercle.
408. Application au triangle.— Si un des côtés dégénère en tangente, on a le théorème suivant :
Dans un triangle inscrit à une conique, le produit des distances d'un point de la courbe à deux côtés dit triangle est dans un rapport constant avec le produit des distances de ce point au troisième côté et à la tangente au sommet opposé.
409. Si deux côtés opposés du quadrilatère dégénèrent en tangentes, les autres côtés se confondent dans la corde qui joint les deux points de contact. Voici donc le théorème qui en résulte : ;
Le produit des distances d'un, point quelconque .d'une conique aux tangentes à deux points fixes de cette conique es dans un rapport constant avec le carré de la distance du premier point à la corde qui joint les points fixes.
2l4 CTÀPIT1I XTÏ.
