OA.OB... N OC.OD...*~M

Transportons l'origine en un autre point 0', sans changer la direction des axes, nous trouverons la même valeur pour l'autre quotient.

III. — Théorème db Newton sur lb quadrilatère circonscrit. 412. Nous commencerons par rappeler le lemme suivant

Dans un quadrilatère circonscrit au cercle, la somme de deux côtés opposés est égale à celle des deux autres côtés.

En effet, soient a, 6, c, d les points de contact des côtés AB, BC, CD, DA ; posons

Aa= Ad = a,

et soient de même (3, y, S les longueurs des tangentes qui partent des sommets B, C, I>: il est clair que

AB -4-CD = « 4- (3 H- y 4- d,

et que telle sera aussi la valeur de BC -+- AD. La réciproque est vraie; ainsi supposons \

AB-4-CD = BC-f-AD 7

et décrivons un cercle tangent à AB, à AD et à BC, il faut prouver que ce cercle est aussi tangent à CD. Soit

Aa = Arf=a, Ba = B6 = {3 et Cc = C6 = y.

Posons

Drf=ô,

*i6 CBAMTIK XTI.

l'égalité supposée donne

mais déjà sur cette droite on a pris la distance

Ce = 7, il reste donc

Dc = «;

donc le point c, ainsi marqué sur CD, est un point de contact pour la tangente partant de C et pour celle qui part de D: par conséquent, ces deux tangentes se réunissent en DC.