Voici maintenant l'énoncé du théorème en question

Dans un quadrilatère circonscrit à une conique, la ligne qui joint les milieux des diagonales passe par le centre de la courbe.

Considérons d'abord le cercle de centre 0. Soit M le milieu de AC, MO coupe BD en N, et il faut prouver que BN=ND. II suffira pour cela de montrer que les triangles BMO, DM0 sont équivalents; comme ils ont déjà la base commune MO, leurs hauteurs BE, DF seront égales, et les triangles rectangles BEN, DEF étant égaux, BN sera égal à ND.

11 faut donc calculer le triangle

BMO = OAB — OAM — AMB,

ou bien

BMO = OMC •+- BMC — OBC, d'où

aBMOrrOAB — OBC,

car OAM et OMC se détruisent, ainsi que AMB et BMC, puisque M est le milieu de AC : donc

aBMO = -(AB— BC),

R étant le rayon du cercle.

On aura de même

DMO = DAO -+- AOM — DAM , et aussi

DMO = DMC — OMC — DOC,

Par conséquent,

a DMO = DAO — DOC,

car AOM et OMC se détruisent ainsi que DAM et DMC; il reste

2DM0 = ~ (DA — DC).

Mais il résulte du lemrae (412) que