AB — BC = DA — DC

donc

BMO = DMO, et, par suite,

BN = DN.

Ce théorème s'étend à l'ellipse par les projections cylindriques qui font correspondre les centres des deux courbes; il s'étend à toutes les coniques par le principe de continuité.

414. Ainsi une droite telle que MN, c'est-à-dire joignant les milieux des diagonales du quadrilatère circonscrit à une conique, passe toujours par le centre de la courbe. Donc, si cette courbe devient une parabole, la droite MN sera parallèle à l'axe focal.

415. La démonstration, même faite sur le cercle, est sujette à certaines modifications, suivant la nature du quadrilatère. Du reste, ce quadrilatère circonscrit à la conique peut ne pas être convexe.

Enfin on sait (168) que la droite MN passe par la troisième diagonale du quadrilatère complet.

416. Comme corollaire du théorème général, nous observerons que toutes les coniques inscrites dans un même quadrilatère ont leur centre sur une même droite.

417. Théorème de Gergonne sur le triangle circonscrit. — Supposons que, dans la^/îg*. 122, deux côtés, tels que DA, DC/ se rapprochent de manière à se mettre en ligne droite : le quadrilatère se réduira à un triangle circonscrit ABC, où le côté AC sera tangent au point D dans lequel se réunissent aussi les points de contact c et d (fig. i23). On a donc le théorème suivant :

Dans un triangle circonscrit à une conique y la droite qui joint le milieu d'un côté avec le milieu de la distance du point de contact de ce côté au sommet opposé passe par le centre de la courbe.

2l8 CHANTES XTI.

11 y aurait deux autres droites analogues à MN.

La fig. io3 montre qu'un polygone circonscrit n'entoure pas toujours la courbe, même lorsqu'il est convexe, comme un triangle l'est nécessairement.