IV. ThÉOESMES SUR LES FAISCEAUX HAEMOKIQCES

418. Les côtés d'un angle sur le plan d'une conique font partie d'un faisceau harmonique dont les autres droites conjuguées sont la ligne qui joint le sommet de l'angle au. centre de la courbe, et la polaire du milieu de la distance entre les pôles des côtés de cet angle {fig. ia4)*

D'un point S, sur le plan d'un cercle, menons deux sécantes Sad, S bc qui détermineront le quadrilatère inscrit abcd 9 et le quadrilatère circonscrit ABCD : cherchons la polaire du milieu M de la diagonale AC.

Il est clair que AC est la polaire de S, puisque cette droite contient les pôles A et C de ad et de bc: donc AC est perpendiculaire sur OS (53), puisqu'il s'agit d'un cercle. Enfin la polaire de M, comme celle de tout point de AC, passe en S : observons aussi que BD passe en S, car B et D, ainsi que S, sont sur la polaire du point R où concourent ba et cd.

Cela posé, pour avoir l'équation de cette polaire de M, nous prendrons SO pour axe des abscisses et S pour origine. Alors les équations de Sad et de Sic sont

jr = mx, y = m'ar, l'équation du cercle étant

[x — p)*-t-jr'=:r\

en posant OS =p. Donc celle de là polaire d'un point représenté par x 9 et jr' sera

(x—p) (x'—pj-hjry' =r\

S'il s'agit du point S, pour lequel x' = o, y r =o, l'équation de AC, polaire de S, sera *

THÉORÈMES DE NEWTON ET DE CARNOT. ItÇ)

donc, en indiquant par X = SH cette valeur de x, on a

Maintenant, pour trouver l'ordonnée HA =7, du point À, pôle de ad, il suffit d'identifier les équations

y=mx et ffîi + (x — p)(X — p)=r\ dont la seconde, à cause de r a -h(X — p) p = o, devient

jrjr>-hx(X— p) = o.

Donc l'identification donne

m= £ y dou r â = — •

On aura de même

CH= r ,= -£.