AI* P
Alors
2 ap \m m )
l'équation de la polaire de M, étant de la forme y = fji#, devra encore être identifiée avec l'équation
( x — p) (X^~-p) -4-7 Y =* r 7 , ou bien yY -t- a: (X — p ) = o ;
ainsi
^ p — X r 2 zp ?.
ou enfin
2 mm'
Maintenant, dans régal i lé
qui constate le rapport harmonique de quatre points ou de quatre droites, posons
a A = m, puis «» = o
220 CHAP1TBE XVI.
pour la droite SU, et
H reste
(m+ m')ai=imm' et n« =r /x.
Ainsi SS', conjuguée de SO pour former un faisceau harmonique avec Sad et S bc f est en effet la polaire du milieu H de AC. Par conséquent, le diamètre OM est perpendiculaire *wrSS'(53).
419. Le théorème, étant ainsi démontré pour le cercle, s'étendra à l'ellipse, au moyen des projections cylindriques dans lesquelles les milieux des droites se correspondent. Ensuite on le généralisera pour les autres coniques au moyen du principe de continuité (177).
Dans ces transformations, le diamètre OM et sa perpendiculaire SS' deviennent évidemment les directions de deux diamètres conjugués de la conique. Nous pouvons donc compléter l'énoncé du n° 418 par l'observation suivante :
La polaire du milieu de la distance indiquée est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par ce milieu.
420. On prend le sommet d'un des trois angles dont les côtés réunissent deux à deux quatre points donnés d'une conique, et ion cherche par rapport aux côtés de cet angle la conjuguée harmonique de la droite qui joint ce sommet au centre de la conique; démontrer que cette conjuguée harmonique et les deux autres droites analogues sont parallèles [fig. 124).
Ces quatre points étant a, b, c, d, les sommets des angles sont S, R, T. On vient de trouver SS' conjuguée de SO relativement à l'angle aSb t on trouvera de même RR' conjuguée de RO relativement à l'angle aRd: d'après ce que l'on vient de voir, RR' sera la polaire du milieu N de BD. Soit I le point d'intersection de ces polaires SS' et RR', il est clair que I sera le pôle de MN. Mais nous avons vu (413) que MN passe par le centre; donc le pôle I est à l'infini, c'est-à-dire que SS' et RR' sont parallèles : le raisonnement serait le même pour la troisième droite TT'; ainsi le théorème est démontré. On sait (396) que T est à la fois le point de concours des diagonales de ABC!) et de abcd. Donc les points où concourent AD cl BC, AB et DC sont, ainsi que R et S, sur la polaire de T.
Les deux propositions de ce paragraphe sont dues à Newton ; mais on les croyait nouvelles quand la dernière a été démontrée directement par la Géométrie et par l'Analyse ( Nou~ velles Annales de Mathématiques, i863, p. 49 et suiv.).
421. Application au triangle. — Si les directions AB, AD se rapprochent et finissent par coïncider, les points A, a, d, R, T se réunissent en un seul point T, contact du côté BD, dans le triangle BDC; on aura encore SS' parallèle à TF, conjuguée de TO relativement à l'angle 6 Te.
