V. — Théorème de Carnot

422. Considérons les intersections d'une conique par un polygone donné : il y a sur chaque côté de ce polygone deu* sommets A et B et deux points de la conique M et S, ce qui donne deux produits de segments à partir de chaque sommet, savoir: AS.AM et BS.BM. Mais par le sommet A il passe aussi un autre côté qui coupe la courbe aux points T et Q, ce qui donne le produit AT. AQ : de même, par le sommet B passe un autre côté qui coupe la conique en V et en P, d'où résulte Le produit BV.BP, On obtient ainsi deux séries de produits que l'on peut disposer de manière que ceux de la première série n'aient entre eux aucune lettre commune; il en sera de même pour ceux de la seconde.

Cela posé, le théorème de Carnot consiste en ce que le résultat obtenu en multipliant tous les produits de la première série est égal à celui que l'on obtient en multipliant tous ceux de la seconde.

Ainsi

AS.AM X BV.BP x. . . = AT. AQ X BS.BM X

423. Nous vérifierons d'abord celte proposition sur le cercle {fig. ia5). Le théorème connu des sécantes donne

. AS.AM = AT.AQ, BV.BP = BS.BM,. . , , La relation écrite cl dessus est donc évidente; ainsi, le qua-

222 OUNTU XT1.

drilatère de la figure actuelle donnera

AS.ÀMxBV.BPxCN.CRxDQ.DT = AT.AQxBS.BMxCV.CPxDN.DR.

424. La proposition s'étendra d'abord à l'ellipse par le principe de continuité. En effet, soient a, b, m, s les projections de A, B, M, S sur le plan de l'ellipse : comme ces quatre points du plan du cercle sont sur une même droite AB, toutes ces projections seront dans le même plan projetant; on aura donc

AS as

AM BS BM , , AS.AM BS.BM

= am = bs=bm' d ° U a..«m = fc.6,»'

ilin

AS.AM as.am

BS.BM - bs.bm

Or, l'égalité de produits démontrée dans le cercle peut se mettre sous la forme

AS.AM BV.BP BS.BM X CV.CP X ,f

en prenant, pour former le numérateur et le dénominateur de chaque fraction partielle, les deux produits binaires formés sur un même côté : on aura donc aussi

as.am bv.bp

bs.bm cv.cp

ce qui démontre le théorème pour l'ellipse. On retendra aux autres coniques par le principe de continuité.

425. Non-seulement le polygone n'a pas besoin d'être convexe, mais il n'est pas nécessaire que tous les côtés coupent la conique. En effet, comme il n'entre dans la formule que le produit des segments déterminés par chaque côté, ce produit est réel, même quand les segments sont imaginaires.

426. Ce théorème s'étend à un polygone non terminé, c'està-dire aboutissant à deux côtés parallèles; par exemple, deux parallèles coupées par une sécante représentent un triangle

dont un sommet est à l'infini. En général, A étant à l'infini,

il reste