PP
sition de la tangente OA. Donc, soit ^tt, le rapport obtenu
PP' PP' pour 1 autre tangente OH, on aura r —, = t^ft,-
qq QQ Mais
/>=OAsinAOA, // = OCsinCOA,
4 = OBsinBOA, q'=:OV sinDOA, et l'on aura des valeurs analogues pour P, P', Q, Q'. Ainsi
AUTRES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES. >3l
OA, OB, OC, OD disparaissant, il reste '
sinAOA.sinCOA sin AOH.sinCOH sinBOA sinDOA ~ sinBOH.sinDOH '
ce qui établit l'involution (150). .
437. Si le point est sur la conique, A et OH se confondent en une seule tangente qui est un rayon double d'involution.
438. Les côtés BA, BC restant immobiles, si les côtés DA, DC se confondent, il reste un triangle ABC dans lequel le point de contact D d'un côté AC remplace le quatrième sommet d'un quadrilatère circonscrit.
Il en résulte donc un théorème facile à concevoir, sur le triangle circonscrit.
439. Si le côté BC se rabat sur BA, et DC sur DA, on voit que les sommets opposés C et A se confondent en A, tandis que les autres sommets B et D se réunissent respectivement aux points de contact a et d des tangentes parties du point A. Il en résulte donc le théorème suivant :
Deux angles et A étant circonscrits à une conique, le sommet de chacun d'eux est l'origine d'un faisceau d'involution qui a pour rayon double la droite OA et pour rayons conjugués, d'un côté,. les tangentes issues du point 0, et de l'autre les droites qui joignent ce point O avec les points de contact des autres tangentes.
440. Si deux tangentes sont parallèles, c'est-à-dire partent d'un point A situé à l'infini, le rayon double sera une parallèle menée du point à la direction commune de ces tangentes.
lil — Théorèike de Steiner.
441. Voici l'énoncé général de ce théorème, démontré par M. Fauref Nouvelles À nnales, i855, p. 97 et suiv.):
Soient a et a, b et fi, c et y les foyers de trois coniques inscrites dans un même quadrilatère, on a
ca.ccL y a. y a
cb.cfi yb.yfi
Cette relation, identique avec celle de l'involution, sauf que les six points ne sont pas en ligne droite, est susceptible de* mêmes modifications.
232 CflANTftE XTU.
