Lemme d'analyse. — Soit

ax* — bx* -h ex* — dx + e = o

une équation du quatrième degré ; si l'on pose

l'équation deviendra

Élevant au carré, remplaçant encore x* par - et réduisant, on a la transformée

ey % -\-ice — d*

iae ibd c*

jr 7 -+- 2 ac . — 6'

Les racines de la première équation étant

celles de la seconde seront

m, mi ml m:

Cherchons maintenant la valeur du produit symétrique

des quatre quantités formées en ajoutant l'unité aux racines de l'équation en y. Pour cela, posons

z = i -+■ y, d'où y=z — i,

ce qui donnera une équation en z, dont le terme indépendant sera le produit cherché. On trouvera, pour valeur de ce produit,

— (a 2 -h b 2 — lac — lae + 26c? — c l -\- d 2 — 2 ce? -h é 1 )

(b — dy+(a — c+e)'

Cette expression montre que le produit en question est constant, si e est constant ainsi que les différences a — c, b — d. 443. Application du lemme précédent. — Soit y*=ipx l'équation d'une parabole inscrite à un quadrilatère dont les côtés ont, par conséquent, des équations de la forme

* 2/îii J i m, J im s

Soient a et a les foyers d'une conique que nous allons bientôt assujettir à être tangente au même quadrilatère que la parabole. Du foyer a menons à la parabole des tangentes dont les coefficients angulaires seront \x. % et \x. x \ comme les équations de ces tangentes sont

les coordonnées du point a, obtenues par l'élimination entre ces deux équations, seront

De même, soient ^ 3 , jx 4 les coefficients angulaires des tangentes menées du second foyer a à la parabole, les coordonnées de cl sont

Maintenant, pour établir que cette conique est tangente au côté du quadrilatère représenté par

p yz=:m { x H £ — >

il faut écrire, d'après une propriété connue des coniques, que le produit des distances de ses foyers à ce côté est une constante B 3 , c'est-à-dire une quantité indépendante de la position ~t h* la direction de ce côté.

On aura donc

Y — m.x — \ [ y' — m.x *— ) =BMi -hnij);

ou bien, d'après les valeurs des coordonnées,

% Posons, pour abréger,

il reste

[( fi t -H /x,) /w, — m; — pi, fi, ] [( ix 3 -h a« ; m, — m] — u,^]

= KfAfXsfx^ (i -h m* ) m].

Soit Si la somme des quantités /x*, /x„ /x 3 , /x«; S, la somme de leurs produits deux à deux ; S 3 celle de leurs produits trois à trois, et enfin S 4 leur produit, cette équation revient à

(2) (i— KSi)mJ— S;m;+mï(S, — KS 4 )— S 3 m,-hS 4 =ro.

On aurait trois autres équations semblables en m„ m 3 , m K pour indiquer que la conique est aussi tangente aux autres côtés du quadrilatère. Donc, si Ton regarde les directions de ces côtés comme les inconnues de la question, on voit que m,, m u nh, m 4 sont les racines de l'équation (2).

Observons ensuite que cette équation ( 2 ) tombe dans le cas du lemme (4-42). En effet,

a=i — KS 4 , A=Si, c = Sj — KS 4 , d=S< y e = S t ;

alors la quantité

( i+ sî)( 1h -sî)( ,+ ^

est constante, en ce sens qu'elle ne dépend pas de K, c'està-dire de la valeur B* qui caractérise la conique dont a et a sont les foyers.

Si Ton indique par Mt la somme des carrés p-, iaï, /j.\ 9 p]; par M 2 la somme de leurs produits deux à deux, par M 3 celle

de leurs produits trois à trois, et par M 4 leur produit, on vérifiera facilement les relations suivantes :

Mi=S;— a&, M 2 =Sî — 2S,S 3 +2S 4 , Ms=S;— 2S,S m 4 =s;.

D'après cela on a

(S, — S 3 ) a - t- (i — S,-hS 4 ) 2 __ i-+M,-4-M , -+-M ; ,4-M< S 4 2 """ - ' M 4 ™ ;

mais aussi on a l'identité

(i^jxî)(i+^i)(i4.^;)(i + ^;)==i+M,-hM,-4-M,-hM 4 ,

d'où

et enfin

Êî) ( I+ À) (

relation qui existe entre les inclinaisons des côtés d'un quadrilatère circonscrit à une parabole, et celles des tangentes menées à cette parabole par les foyers d'uae conique également inscrite à ce quadrilatère.

444. Lemme géométrique. — Il résulte de là que, si une conique est inscrite dans un même quadrilatère avec une parabole, le produit des distances de ses foyers à celui de la parabole est constant, c'est-à-dire indépendant des éléments de la

conique*

En effet, nous avons vu que les coordonnées d'un foyer a de la conique étaient

p [> ( {J., -{- fX 7 )

x r= — £ — , y = '—Il l—L .

Celles du foyer de la parabole étant

y = o et x = '- >

le carré de la dislance de ces deux points sera

>-- ; — i ; 1 — 2 ci, ll, -f- u, al

el ce carré est encore égal à

Le carré analogue pour l'autre foyer a sera de même

ce qui montre, d'après la fin du numéro précédent, que le produit de ces carrés a pour valeur

S( i+ i)( ,+ i)( i+ =î)0 + sî) :

ainsi se trouve démontré le lemme actuel.

445. Conséquences de ce lemme. — Soit ABCD le quadrilatère circonscrit à la parabole et à la conique; on peut considérer une diagonale AC comme une ellipse infiniment mince, dont les extrémités A et C seront les foyers : alors, le produit Fa. F a étant constant, quelle que soit la conique, on aura

Fa.Fa = FA.FC;

comme on peut en dire autant pour l'autre diagonale BD, on a la relation double

Fa.Fa = FA.FC=FB.FD.

On sait que quatre tangentes suffisent pour déterminer une parabole; ainsi l'égalité FA.FC = FB.FD exprime la relation qui existe entre les quatre sommets d'un quadrilatère et le foyer de la parabole inscrite. Cela posé, l'égalité double montre que a et a forment avec A et C un second quadrilatère,

avec B et D un troisième, dans chacun desquels sera inscrite une parabole ayant F pour sommet ; seulement ces trois paraboles différeront entre elles.

♦D'après cela, considérons une seconde conique, inscrite dans le même quadrilatère ABCD, et ayant pour sommets b et(3 : on aura encore

Fè.F(3 = FA.FC, et, par suite,

F6.F(3 = Fa.Fa,

ce qui prouve, comme nous venons de le voir, que a et a, b et (â sont aussi les sommets d'un quadrilatère circonscrit à une parabole de foyer F. Enfin, considérons une troisième conique, également inscrite dans ce quadrilatère ABCD et ayant c et y pour foyers; on aura encore

Fc.Fy = FA.FC,

ce qui donne la relation double, analogue à la première,

Fc.Fy==F«.Fa = Ffc.F(3.

Il en résulte donc aussi que les points c et y jouent avec a et a, b et (3 le même rôle que a et a avec A et G, B et D, c'està-dire que cette troisième conique est inscrite dans le quadrilatère abafi.

446. Démonstration du théorème général. — Par conséquent, d'après ce qu'on a vu n° 434, le rapport des produits relatifs aux sommets opposés a et a, b et (3 étant le même pour le foyer c et pour le foyer y, on aqra

ca.ca ya-y&..

cb.cfi yb.yfi

c'est le théorème de Steiner.

On voit que les paraboles n'ont servi que de courbes auxiliaires.

447. Conséquences de ce théorème. — L'énoncé suivant est une conséquence évidente de la démonstration précédente.

Si trois coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, chacune d'elles sera aussi inscrite dans le quadrilatère qui a pour sommets les foyers des deux autres.

Il est clair 411e cela s'étend à tant de coniques que Ton voudra, inscrites dans un même quadrilatère.

Comme cas particulier, nous remarquerons encore que si une conique ayant a et a pour foyers est inscrite dans un quadrilatère ABCD, on a la relation

Aa.Aa Ca.Ca

ab.ad~~cb.cd'

Cela tient à ce que les extrémités A et C, B et D des diagonales peuvent être considérées comme les foyers de deux ellipses infiniment minces, mais inscrites au même quadrilatère.

448. Ainsi, soient E et G les points où concourent les côtés opposés BC, AD et BA, CD : nous aurons, de même qu'au n° 445, F étant le foyer d'une parabole inscrite à un même quadrilatère,

Fa.Fa = F6.Fp=Fc.Fy = FA'FC = FB.FD=:FE.FG.

449. Applications à la parabole. — i° Si la conique (c, y ) devient une parabole dont le foyer y est à l'infini, la relation devient ca.ca = cb.c$, ce qui fait retrouver le lemme du n° 444.

2 Si l'on fait passer à l'infini un foyer qui ne figure que deux fois dans la formule, tel que (3, on a la relation

ca.ca cb ya.ya y b

entre deux coniques (a, a), (c, y) et une parabole (b). 3° La comparaison des n m 444 et 445 donne

F«.F«=Ç^(«-H^)(. + i î )(.-h^)(i+ij = FA.PC.

Mais il sera facile de constater que le carré de la distance du foyer F de la parabole ait point de contact de la tangente représentée par

■->. tft ,

MM'il

ïJ = ï l ,+ Jïn)-

De là on conclut le théorème suivant :

Un quadrilatère étant circonscrit à une parabole > le produit des distances du foyer à deux sommets opposés est égal à la racine carrée du produit des distances de ce foyer aux quatre points de contact.

4° On en conclut encore l'énoncé que voici :

Si Von considère deux points fixes A et C, ainsi que des paraboles de même foyer F, et que Von mène par les points donnés quatre tangentes à une parabole, le produit des distances de F aux points de contact est constant. En effet, il ne dépend que de FA.FC.

5° Soient donc N„ N„ N 3 , N 4 les points de contact d'une parabole de foyer F et inscrite dans un quadrilatère ABCD, on peut écrire ce qui précède de la manière suivante :

V / FN l .FN a .FN 3 .FN 1 = FA.FC = FB.FD = FE.FG.

Ici £ et G sont les points 'de concours des côtés opposés BC, AD et BA, CD du quadrilatère : on conçoit que ces points puissent être considérés encore comme les foyers d'une ellipse infiniment mince et toujours tangente au quadrilatère ABCD.

450. Application au quadrilatère complet. — D'après cette même considération, les diagonales aa, b$ et cy d'un quadrilatère complet jouant le rôle de coniques, on y appliquera toujours la formule

ca.ca, ya.yoc

cb.cfi yb-yfi

avec ses modifications.