CONSTRUCTION DES CONX'CES

J. F.4IBE PASSER IXE COMQITE Pli Cl?fQ POIHTS MHOCtS.

455 Première solution. — Soient a, A, c\ d y e les cinq points donné* : nous observerons que ac, ad, ae, et bc 9 bd, be forment deux systèmes de trois droites dans deux faisceaux homographiques(112). On pourra donc trouver (111] le pointu où se coupent les droites a û, 6û, respectivement homologues de ab dans chaque système : dès lors, étant prise une droite quelconque af du premier système, on trouvera son homologue bfj ce qui donnera un sixième point /.

Si le point /se confond avec fr, la droite bf sera évidemment tangente en b; c'est ce que l'on obtiendra en prenant ab au lieu de af

456. Seconde solution. — Considérons le quadrilatère abcd inscrit dans la conique cherchée. Par le cinquième point e on mène une sécante quelconque ef qui déterminera une involution sur le quadrilatère et sur la conique (170). 11 suffira donc de chercher le point/ conjugué de e dans cette involution (160): ce point/ sera sur la conique.

Si l'on veut chercher la tangente en b, on regardera acbt comme un quadrilatère inscrit dans lequel deux sommets b et t sont infiniment voisins, et la droite ed comme la transversale de ce quadrilatère. Cette transversale détermine six points en involulion conjugués deux à deux, savoir : sur la courbe, eetd; sur les côtés opposés ab et et ou plutôt cb du quadrilatère, les points y et a; sur les autres côtés opposés ac et bt ( c'est-à-dire la tangente), les points (3 et x. Ce dernier étant le seul inconnu, on le détermine comme ci-dessus, et bx est la tangente.

457. Troisième solution, par le théorème de Pascal. — Par le point e on mène une droite quelconque ef, et Ton forme