Si a, b, c étaient en ligne droite, on sait (2) que

aB bC cX

On aurait donc aussi

sin «AB sinABC sincCA

sin aAG sin 6 B A sin cCB

17. Si les droites A a, Bft, Ce se rencontraient en un seul point, on sait (5) que Ton aurait

aB bC £A___

Donc aussi Ton aurait alors

sin a AB sinfrBC sincCA

sin aAC sin 6BA sin cCB

18. Si d'un point on mène des rayons aux sommets d'un polygone ABC . . . E (fig. n), les sinus des angles que ces rayons feront chacun avec les deux côtés adjacents auront entré eux la relation

sinOAB sinOBC sinOEA

sinOAE sinOBA sinOED

le signe étant H- ou — , selon que le nombre des sommets du polygone sera pair ou impair.

Admettant encore l'égalité précédente pour le polygone ABC. . .E de n côtés, nous allons la démontrer pour le polygone ABC. . .EF qui a un côté de plus. Le triangle EFA donne, ainsi que nous l'avons vu (17), la relation

sin OAE sin OFA sin OEF

sin OAF ' sin OFE " - sin OEA ~~ * '

qui, multipliée par la précédente, donne

sin OAB sin OBC sin OEF sin OFA sin OAF ' sin OB A "sin OED ' sin OFE

Il suffit donc de rappeler que le théorème est vrai pour un triangle; c'est ce que nous avons reconnu au n° 17.

TRANSVERSALES. t I