II. — Construire une conique, connaissant cinq tangentes

460. Première solution. — Soient À, B, C, D, E les cinq tangentes : considérons spécialement les deux tangentes A et B qui se coupent en S et qui sont coupées aux points/, à', e', 9' et y, S, e, <p par les trois autres tangentes C, D, E et par une nouvelle F qui est inconnue; prenons arbitrairement sur B un point <p de F, il faut trouver l'intersection 9' de F et de A.

Nous savons ( 115) que les quatre tangentes C, D, E, F sont coupées homographiquement par deux tangentes quelconques A et B, c'est-à-dire que ces tangentes A et B sont divisées homographiquement aux points /, ô', e', 9' et y, à, e, 9. Donc, connaissant tous ces points, excepté 9', on trouvera ce dernier (104).

On peut encore déterminer le point de contact d'une des tangentes, telle que A. Observons que si le point 9, qui est sur B, se rapproche.de S, le point 9' se rapprochera du point a où A touche la conique; alors, en effet, les tangentes A et F tendant à se confondre, la limite de leur point d'intersection est un point de contact. Donc ce point a sera sur A le point homologue de S, considéré comme appartenant à B. De même, le

244 CHAPITRE XTI1I.

contact b sera sur B l'homologue de S, considéré comme appartenant à A*

461. Deuxième solution (fi g. 129). — Soit ABCD un quadrilatère formé par quatre des tangentes données; sur la cinquième OH prenons un point 0, nous trouverons (436) une sixième tangente OA, en construisant (160) un sixième rayon dévolution.

Si les tangentes DA, DC arrivent à coïncider, le point D deviendra le contact du côté AC dans le triangle circonscrit ABC. Alors nous pouvons considérer comme données les cinq tangentes BA, BC, AC, OH, OA qui forment toujours, avec le sommet O, un faisceau d'involution dans lequel OB sera toujours conjugué avec OD que Ton déterminera ainsi (160), ce qui donnera le contact D de AC.

462. Troisième solution. — La méthode la plus simple consiste à faire usage du théorème de Brianchon (394).

Connaissant cinq tangentes (fig. n4), FA, AB, BC, CD, DE, on demande une sixième tangente FE. Pour cela, joignons AD; prenons sur DE un point quelconque E, joignons BE qui coupe AD en S; enfin joignons CS qui coupe AF en F : la tangente cherchée est EF.

On peut encore, étant données (Jig. 1 15) cinq tangentes AB, BC,CD, DE,EA, trouver le point de contact de Tune d'elles EA. Pour cela, joignons AD et BE qui se coupent en S; enfin joignons CS qui coupe AE en F (395).