VIII. — Théorèmes sur la parabole

i° Théorèmes sur le triangle circonscrit.

471. Le foyer d'une parabole se trouve sur une circonférence circonscrite à un triangle dont les côtés sont tangents à cette parabole {fig. i3o).

Soit F le foyer, ABC le triangle dont il s'agit. On sait que les

^48 CBAPITB* xnu.

pieds T, T, T* des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes sont sur la perpendiculaire menée du sommet O à Taxe focal. Ainsi la circonférence de diamètre FA passe par T' et T" : on a donc, comme angles inscrits dans le même segment,

T*T'F=T"AF = <z.

De même, la circonférence décrite sur CF comme diamètre passera en T et en T; ainsi l'angle TCF = TT'F: mais comme ce dernier angle est identique avec T'T'F, on a

TCF = T"AF = o.

Par conséquent, si Ton décrit sur 9F comme diaptètre un segment capable de l'angle a, cette circonférence passera aussi en C et en A.

472. Soient CM, CM' deux tangentes à une parabole de foyer F; on a

cm' FM

Pour le démontrer, observons d'abord que les triangles CMF, CM' F sont semblables. En effet, on sait que, dans une conique quelconque, la droite qui joint un foyer au point de concours de deux tangentes est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs des points de contact : ainsi CFM = CFM'.

De plus, MCF = CM'F : pour le voir, imaginons la circonfé-. rence décrite sur CF comme diamètre, et passant en T et T', on y observe l'égalité des angles inscrits TTF et MCF, Mais TT' F est le complément deT'FG; de même CM'F = T'M'F est le complément de T'FM'. Or, ces angles complémentaires T'FO et TFM' sont égaux comme formés par la perpendicu^. laire FT' à la tangente avec Taxe focal d'un côté et le rayon vecteur de l'autre. Donc aussi MCF = CM' F.

Cela posé, les surfaces de ces triangles sont entre elles comme les produits des côtés qui comprennent Vangle CFM = CF'BJ, et comme CF est commun, il reste