AM 7 FM' , BM" FM

Â5r~ FM ''' BM^ 1 ™'

Multiplions ces trois relations où le produit des seconds membres se réduit à l'unité, et extrayant la racine carrée, il reste

CM. AM' .BM' 7 = CM' . ÀM'.BM.

On voit que la relation connue (2) d'un triangle coupé par une transversale est un cas particulier de celle-ci, dans laquelle on imaginerait la parabole réduite à deux parallèles infiniment voisines.

473. Soient encore M, M', M 77 les points de contact d'une parabole avec trois droites BC, CA, AB : on a

MB CA BM 77

3C~AM'~~îFÏ ( "' i * , - l3 ! ) -

a5o CBÂPITRB XTIII.

Eu effet, soit N le milieu de MM'; on sait que CN est un diamètre de la parabole. Nous. prendrons pour axe des abscisses cette droite CN qui coupe la courbe, à l'origine 0, et Taxe des ordonnées sera la tangente en 0, laquelle sera, comme on le sait, parallèle à MM'*

En indiquant par x'> y 1 les coordonnées du point M', celles du point M seront a? et — y'; le point M' 7 sera représenté par x\ y".

Soit AI parallèle à l'axe; on sait que ce diamètre passe au milieu I de M' M", de sorte que

Or nous avons

AC j, y' -h y" *

l'autre extrémité B du côté opposé à C donnera symétriquement

MB — f— y"

BC ""— y'*+-y"'

puisque Ton passe de M' à M, ou de A à B, en changeant le signe de y' ; par conséquent,

MB AC BC "M'A*

Pour concevoir de même des triangles semblables où figurent M"A et M"B, menons le diamètre BP qui rencontre en P l'ordonnée de M", et en R celle de M; nous savons que M"P = MR, sauf le signe. Nous aurons donc

BM / ' £ (r/+r " / '

M"A~~" yi— y '

car

M"P=/'-+-N'P, MR=/' — RN; d'où aMR = r'4-r # , puisque N'P et RN sont égaux : on obtient donc

BM" y' + j

M"A """">' — y' ' ce qui démontre le théorème.