MC.M'A
d'où résulte encore
BM.CM'.AM^^BM^.AM.CM.
474. Conséquences de l'hexagone de Brianchon. — La parabole est la seule conique pour laquelle une tangente puisse être tout entière à l'infini : en effet, tous les points de l'ellipse sont à une distance finie, et les tangentes à l'infini de l'hyperbole sont les asymptotes.
Ainsi, dans l'hexagone circonscrit {fig. 1 14) imaginons que la tangente EF passe à l'infini, et voyons ce que devient le triangle variable SBC dont nous avons parlé à la fin du n° 394. Dans le cas général, BS passe toujoursenE; mais ici ce pointE étant à l'infini, BS sera parallèle à DE; de même, CSsera parallèle à AF : voici donc ce qui en résulte.
Si, dans un triangle variable SBC, les sommets sont assujettis à glisser sur trois droites fixes AD, BA, CD, et que deux de ses côtés BS et CS restent respectivement parallèles à deux droites fixes DE et AF, le troisième côté BC sera constamment tangent à une parabole qui sera aussi tangente aux droites BA, CD, DE et AF.
Cela posé, imaginons que les directions AB et AF se confondent {fig. i32 ) : le point A deviendra un point de contact.
?5a auriTut xviu.
De même, si CD et DE se confondent, le point D devient un point de contact. Par conséquent, les droites BS, CS deviennent ici respectivement parallèles à CD jet à BA : mais comme elles se coupent toujours, ainsi que dans la fig. 1 14> sur la droite AD, qui devient maintenant une corde de contact, on aura le théorème suivant, dans lequel le point O est celui où concourent les tangentes AB, DC (Jig. i3?).
Si par deux sommets d'un triangle circonscrit à une parabole on mène des parallèles aux côtés opposés, elles se coupent en un point situé sur la corde de contact de ces autres côtés. Ici le triangle est OBC ; on mène BS parallèle à OC, CS parallèle à OB, et S est sur la corde AD.
475. Soit N le point où BC coupe AD. Puisque BA est parallèle à CS, on a
NB NA NC — NS '
mais puisque BS est parallèle à CD, on a aussi
NB NS ,,, NA NS t — > Vk __
KC = M5' d ° U NS = ND' et NS=NA.ND.
Par suite de cette égalité, on verra bientôt (481) que le point S est sur le diamètre qui passe au contact c de BC.
2° Théorèmes sur le triangle inscrit.
• 476. Soient P et P' deux points fixes sur une parabole, OH un diamètre quelconque, et C un troisième point variable sur la courbe, d'où l'on mène CP et CP' qui coupent OB en A et A';
OÀ
enfin soit O le point oU OH coupe la courbe: le rapport j^j- t
est indépendant de la position, du point C sur la parabole (fig. i33).
Nous prendrons pour axe des abscisses le diamètre qui passe au milieu de PP', et pour axe des ordonnées la tangente correspondante : alors, l'équation de la parabole serd de la forme
y * =: 2 px.
CONSTRUCTION DES CONIQUES. a53
Les coordonnées du point F seront x', y' ;. celles, du point P seront donc a?', — y'\ le point C sera représenté par x" y y". L'équation du diamètre OH sera y = $; par conséquent, l'abscisse du point O où ce diamètre coupe la courbe sera
10= il.
L'équation de la droite CP* sera
Pour le point A' où cette droite rencontre le diamètre,
x — x' = HA',
en indiquant par H le point où PP' coupe le diamètre : alors
ux , ^ {t-y^i** -*") = {*-y')(y'+y")
en observant que
*' = £-, X" = ï~ ip ip
Mais
OA' = IIA' — HO, et
HO = 10 — IH = — — af == £- .
np %p
Par conséquent,
pour avoir OA, il suffira de changer le signe de y', ce qui donnera .
ip yj J
par suite,
OA __ $ + r l
quantité indépendante de la position du point C.
254 CBANTM XT11I.
477. Soient P, F, M, C quatre points sur urne joignons deux d'entre eux, P et P\ ainsi que les deux antres MetC ,les droites PF, MC se coupant en H. Par deux points P et M, pris sur chacune de ces droites, menons des diasmètres jusqu'à la rencontre de l'autre droite : la ligne NR qui joindra ces points de rencontre sera parallèle à la ligne P r C qui réunit les autres points [fig* i33*).
Prenons pour axes les droites PP / , MC et pour origine leur intersection H; l'équation de la parabole sera
en posant
HM = a, HC = a\ HP = £, HP' = £\
comme on a déjà fait au n° 383.
On sait que le coefficient angulaire du diamètre d'une parabole a pour valeur le coefficient de xy divisé par le double de celui de y*, pris en signe contraire : ici, ce coefficient sera donc
ainsi, l'équation du diamètre PN sera
r—P= — jp 1 *.
et si, dans cette équation, on pose .y' = o, il reste
De même, l'équation du diamètre MR sera
pour x" = o, il reste
y" = iUl = -----
Alors l'équation de NR sera
v— 7-' =l 1 —l X — X fy \^
CONSTRUCTION DBS CONIQUES. 9,55
ce qui revient à
Comme la courbe est une parabole, é* = t-zt— -, » et le coeffi-
r pp OCX
S' cient angulaire devient — *-;> comme celui de P'C: ainsi NR
et P'C sont parallèles.
478. Soit PK parallèle à NR et à PC jusqu'à la rencontre en K de CM. Les triangles semblables NHP, RHM donnent
