Construire une parabole, connaissant quatre tangentes

On commencera par déterminer, d'après le théorème de Newton sur le quadrilatère circonscrit (413), la direction des diamètres; ce sera celle de la ligne qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère donné.

Cela posé, soit OBC le triangle formé par trois de ces tangentes {fig. 1 32 ) : menons BS parallèle à OC et CS parallèle à OB ; la parallèle menée du point S à la direction des diamètres coupera BC à son point de contact c (475). On construira de même les points de contact A et D des deux autres côtés; comme vérification, AD passera en S (474).

On a ainsi plus qu'il n'en faut pour connaître, comme au numéro précédent, un système de diamètres conjugués et un point extérieur : mais ici, il n'y a qu'une solution.

On pourrait déterminer directement le foyer : c'est le point commun aux circonférences qui passent par trots des sommets "du quadrilatère donné (471). De là résulte môme ce théorème indépendant de la parabole : Étant données quatre droites A, B, C, D, si l'on circonscrit des circonférences aux triangles formés par ces droites considérées trois à trois, savoir : A, B et C; A, B et D; X, C et D; B, Ce^D, ces quatre circonférences auront un point commun.

Cela tient à ce que nous avons vu par la première méthode que le problème actuel n'avait qu'une solution.

Enfin, les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur deux tangentes sont sur la tangente au sommet, ce qui achève de résoudre le problème.

a58 auriTiB xrm.

48fc. Construire la parabole, connamant trois p+imt* et tangente.

Nous pouvons appliquer a ce problème la méthode qui a été euivie (465) pour construire une conique, connaissant trois points et deux tangentes. Ici Fune des tangentes "Ol* étant tout entière à l'infini ( W4), le point f où elle coupe la corde des points donnés b et c sera aussi à l'infini. Donc le point *, où la tangente donnée coupe cette corde, est H point centrai de l'involutioo (130). Ainsi la formule

— -t te=tb.te

donnera les points doubles c et 4 : on achèvera comme au n* 465, et l'on trouvera de même quatre solutions*

Autre méthode. — Pour ramener le problème aux précédents, il suffit de trouver le point de contact e de h tangente donnée CB (fig. i3a). SoiemD et A deux des points donnés, et N le point où AD coupe BC; on sait que si Ton pose

Ns'^NA.ND,

les points S et S' ainsi déterminés sur AD, de part et d'autre du point N, sont sur le diamètre qui passe par un contact c deBC(475),

De même, le troisième point donné D to combiné avec A, donnera deux points analogues S» et S', ; on aura donc quatre droites SS„ S' S, , SS' t , S' $', qui seront des diamètres de chacune des quatre solutions et détermineront sur la tangente donnée les points de contact correspondants.

Comme il n'y a que quatre solutions* on retombera encore sur ces points en combinant D avec D,. D'ailleurs» on peut vérifier par l'analyse que le problème est du quatrième, degré.

485. Construire la parabole connaissant trais tangentes et un point [fig. i3a).

Soit OBC le triangle circonscrit et H le point donné ; nous commencerons par trouver un second point de la courbe. Pour cela, menons BS parallèle à OC et CS à OB, puis joignons SH : cette droite coupe BC en T, et soit I le second point où

ctMTftecTMm mi cootqi»» 969

elle tencttiu* h 00* i*è, on a

ainsi ce second point I est connu.

Maintenant, soit V le point où cette sécante coupe Tune des autres tangentes OC, et M celui où elle coupe le diamètre qui passe par le point de contact D de cette tangente: le même théorème donne

ce qui donne deux positions H et M' de ce point. Enfin, soit OK parallèle à BC et coupant en K la droite CS parallèle à OB : on remarque» en combinant les n°» 474 et 475, que ce point K est sur le diamètre qui passe au contact D de OC, troisième côté du triangle ORC. Ainsi KM sera ce diamètre et coupera OC au point D : ensuite Se, parallèle à KM, coupe BC à son contact c% et DS coupe OB à son contact A ; le problème est donc ramené aux précédents.

On en ferait autant avec le point M'. Il y a donc deux solwtions, à moins que le point donné H ne soit le contact ï), auquel cas il est clair qu'il n'y en a qu'une.

486. Construire la parabole, connaissant deux points et deux tangentes [fig. i32).

. Soient OC, OB les tangentes et I, H les points donnés : la sécante IH coupe OC en V, et l'on déterminera, comme dans le numéro précédent, les points M et M' ; on construira aussi, sur cette même sécante IH et relativement à l'autre tangente OB, deux points analogues P et P'. Comme on peut les combiner de différentes manières, M et P, M et P', M' et P, M' et F, il y a quatre solutions.

Pour achever la première, par exemple, soit R le milieu de MP, je dis que OR sera un diamètre : en effet, imaginons du point R la droite LQ parallèle à la corde de contact DA et comprise entre les diamètres AP et DM. Puisque RM = RP, les triangles semblables RMQ, RLP sont égaux et RL = RQ : donc, soit RG parallèle à ces diamètres, il est clair que G sera le milieu de AD. Mais comme le diamètre GR, passant au milieu

360 ourrru xvm. — oomirocim» mi cohqcb.

de la corde AD, passe aussi au point de concours O des tangénies en A et en D, on voit que OR est un diamètre. Ainsi, la direction dos diamètres étant connue, on mènera PA et MD parallèles à OR, ce qui déterminera les contacts A et D et ramènera le problème aux précédents.

Si l'un des points donnés I ou H est sur une tangente, il n*y a que deux solutions. Enfin, si chaque point est sur Tune des tangentes données, il n'y a plus qu'une solution.

Autre méthode. — Ce problème se ramène à celui du n* W7, en admettant qu'une RC des trois tangentes données passe à l'infini. Alors les droites du faisceau R ont toutes la direction AR : une transversale quelconque coupera aR, £R en a et b et AR en û>, qui sera le point central de révolution puisque AR est conjugué de RC; on déterminera donc sur cette transversale le point double x où elle coupe Bx parallèle à AR. On aura de même y sur le faisceau C; or, Bx et Cjr se coupent au point M, de sorte que Ma et H (3 seront les nouvelles tangentes cherchées.

Il y a quatre solutions, parce que Ton a deux points x et deux points j.

La plupart des solutions et des théorèmes que nous venons d'obtenir relativement à la parabole sont dus à M. Page.