I. — Centre instantané db rotation

487. Une caurbe peut souvent être engendrée par un point pris fixement sur une ligne mobile d'après certaines conditions. Quand cette ligne passe d'une position quelconque à la position immédiatement voisine, on co'nçoit qu'elle tourne autour d'un point fixe pendant un temps infiniment court : ce point s'appelle centre instantané de rotation.

Dans quelques circonstances, la position de ce point est évidente. Considérons, par exemple, la cycloïde, c'est-à-dire la courbe engendrée par un point fixe d'une circonférence qui roule elle-même sur une droite donnée. Il est clair que le centre instantané de rotation sera, à chaque instant, le point de contact entre la circonférence mobile et la droite fixe.

De même, dan$ Yépicyclotde, courbe engendrée par un point fixe d'une circonférence roulant elle-même, encore sans glisser, sur une seconde circonférence fixe, le centre instantané de rotation est,, à un moment donné, le point de contact des deux circonférences.

488. Cette définition s'étend au cas où le point générateur rie fait pas partie de la courbe mobile, mais s'y trouve invariablement fixé, de manière à en suivre le mouvement. En effet, on comprend toujours qu'un mouvement infinitésimal ait lieu autour d'un certain centre.

Par exemple, concevons les cycloïdes et les épicycloïdes allongées ou raccourcies, courbes pour lesquelles le point générateur est- sur un rayon fixe de la circonférence mobile, mais au delà ou en deçà de cette circonférence. Il est clair que le centre instantané de rotation sera toujours au contact de la circonférence mobile avec la droite ou la circonférence

a6a GHAPITM XIX.

fixe. En général, quand le point générateur est fixé invariablement à une courbe qui roule sans glisser sur une autre courbe, le centre instantané de rotation est au contact des deux courbes.

489. Il est aussi un cas dans lequel on peut fixer, à chaque instant, la position du centre de rotation : c'est celui où le point générateur est lié invariablement à une droite de longueur constante, dont les extrémités sont assujetties à se mouvoir sur deux lignes fixes, droites ou courbes.

Considérons les éléments de ces lignes que décrit la droite constante dans un instant très-court : chacun de ces éléments sera considéré comme un élément circulaire ayant pour centre le centre instantané de rotation ; donc, si l'on mène à chacun de ces éléments les normales respectives aux lignes dont ils font partie, ces normales se couperont à ce centre de rotation.

Ainsi, l'on sait que si une droite de longueur constante s'appuie sur deux droites fixes, un point invariable sur cette droite mobile décrit une ellipse. Du reste, nous reviendrons sur ce sujet.

490. Si la direction mobile est assujettie à passer par un point fixe, il est clair que la perpendiculaire menée par ce point fixe à cette direction variable contiendra le centre instantané de rotation, En même temps, il ne restera plus qu'une seule extrémité de la longueur constante qui sera assujettie à s'appuyer sur une ligne directrice ; mais la normale à cette ligne contenant toujours le centre de rotation, ce centre sera déterminé.

C'est ce qu'on observe pour les conçhoXdes décrites par un* droite qui passe par un point fixe, et sur laquelle on porte, k partir d'une ligne fixe» une longueur constante.

491. Construction de la tangente, t— Pendant un temps infiniment petit, le point mobile décrit un élément de circonférence qui a pour centre le centre instantané de* rotation. Si donc on joint ces deux points, on aura la direction de la normale a la courbe au point actuel, et par suUq celle de la tangente.