AC.BD = AD.CB

ce qui constitue la division harmonique (23).

30. Non-seulement la proposition du n° 28 se trouve ainsi démontrée, mais on résout aussi le problème suivant:

Étant données trois droites OA, OB, OC d'un faisceau harmonique, trouver la droite OD conjuguée avec l'une OC de ces trois droites.

Cela revient en effet à diriger la droite GCE pour que Ton ait GC = CE ; or, d'après une construction connue, il suffit de mener CF parallèle à OA jusqu'à la rencontre de OB en F, de prendre FE = OF et de joindre EC.

On trouve ainsi une seconde solution du problème indiqué ail n° 26 : pour diviser harmoniquement la droite AB, et trouver le conjugué D du point donné C, on pourra joindre A, B, C à un point quelconque 0, et trouver OD comme il vient d'être dit.

D'après ce que nous avons vu sur les points conjugués, il est clair que deux droites conjuguées entre elles alterneht avec les deux autres : mais il faut observer que les quatre droites s'étendent de part et d'autre du point O; ainsi, la transversale aurait pu rencontrer la droite OD du côté de OD' (fig. i4).

31. On peut considérer, comme donnant une direction limite des transversales, une droite telle que GCE, parallèle à un des côtés du faisceau : alors le point D, conjugué de C, est à l'infini, et GC=^ CE.

Cela revient à ce que Ton a déjà vu (25).

32. Nous reviendrons plus tard sur les propriétés du rapport harmonique, considéré comme cas particulier du rapport que nous appellerons anharmonique.

Cependant nous allons chercher, dès à présent, les relations qui doivent exister entre les coefficients angulaires des équations de quatre droites pour qu'elles fassent un faisceau harmonique. Comme il ne s'agit que des angles, nous prendrons l'origine O au sommet du faisceau que nous couperons par une droite MAiAjAaA^ parallèle à Oy(Jig. i5).

Les équations des quatre droites étant respectivement

y=a,x f yz=a t x, jr = a t x, y=a t x, si nous prenons x = OM, nous aurons

<r,# = MAi, a a ar=MA„ <z s a? = MA 3 , rt*a? = MA 4 . La relation harmonique est

Ai A4 • A3 A3 z=^ At A)« A3 A4,

en prenant toutes les quantités positives. Observant que

Ai A4 = MA4 — MAi, ...,

et supprimant de part et d'autre x* 9 il reste l'équation cherchée ,

Développant et réduisant, on a aussi