III. — Pôle et polaire relativement a un angle

34. Étant donnés un point A et un angle COD (fig. i4), si Von mène de ce point une infinité de transversales à cet angle, le lieu géométrique des points conjugués de A sur toutes ces transversales, relativement aux points où elles coupent l'angle , donné , est la droite OB conjuguée de OA. x

En effet, il est évident, d'après ce que nous avons vu n°* 29 et suivants, que le point B, qui divise harmoniquement avec A la droite CD, est sur la ligne OB, conjuguée de OA, relativement à l'angle COD ; cela tient à ce que la direction de la transversale est arbitraire.

D'après cela, on dit que le point A et la droite OB sont le pôle et la polaire l'un de l'autre, relativement à l'angle COD.

35. Par conséquent, si l'on donne les coordonnées x' > y* d'un point quelconque A* (fig. i5), il sera facile de trouver l'équation de la polaire de ce point, relativement à l'angle AiOA 3 dont les côtés sont représentés par y = a x x et y = a*x.

Il suffira d'écrire, dans les formules du n° 32, <z, =•£-,, et

ces formules nous donneront le coefficient angulaire a k de la polaire cherchée.

Si Ton demandait réciproquement le pôle d'une droite passant par le sommet de l'angle, ce problème serait indéterminé, car on pourrait prendre indifféremment tous les points de la ligne conjuguée avec la droite donnée.

Enfin, si l'on demande le pôle d'une droite quelconque re-

RAPPORT HARMONIQUE, POLAIRES. ig

lativement à un angle donné, on doit considérer le sommet de cet angle comme le pôle demandé; cela tient à ce que les polaires de tous les points de cette droite passent par ce sommet.

36. Pour construire la polaire d'un point donné relativement à tin angle, nous renverrons à la construction déjà indiquée (30 ). . .

Du reste, nous trouverons bientôt une autre méthode pour résoudre ce problème (40).