II. — Théorèmes sur les polaires
57. Nous pouvons donc ajouter, aux deux^îg*. 23 et 24, la Jig, 25 dans laquelle le point M est intérieur au cercle, et nous démontrerons, sur toutes trois, le théorème suivant :
Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite.
Soit M le point pris sur la droite donnée MP ; d'après ce qui précède, on trouvera la polaire de M en prenant sur CM la dis-
tance CF = -^- et menant FO perpendiculaire sur CF. Cette
droite FO, polaire de M, coupe en la droite CP, perpendiculaire sur MP. Or, les triangles semblables COF, CMP don-
CO CF nent fnj| = rp' donc CM. CF = R 2 = CO.CP; par conséquent,
le point 0, où passe la polaire de M, est le pôle de MP.
58. Réciproquement, les pôles de toutes les droites qui passent par un même point se trouvent sur la polaire de ce point.
Soient ce point et OF une droite quelconque qui y passe; pour en avoir le pôle, on sait qu'il faut abaisser CF perpendi-
culaire sur OF et prendre sur CF la distance CM = j^ \ alors M sera le pôle de OF. Joignons OC et abaissons MP perpendiculaire sur OC ; on aura comme ci-dessus CP = — t^tt— = pTy
ainsi la perpendiculaire HP sera la polaire du point 0, donc cette polaire contient le pôle M de OF.
59. Observons, comme cas particulier, que la polaire du centre est à l'infini, car si le point se rapproche de C (fig. 24 )>
la formule CP = ^r montre que CP = 00 pour CO = o.
Donc, d'après le théorème précédent, le pôle de tout diamètre est à V infini.
60. Des théorèmes qui précèdent découlent évidemment les corollaires suivants :
i° Si des différents points d'une droite on mène des couples de tangentes à un cercle, les cordes de contact passent au pôle . de la droite donnée*
a 9 Le point d'intersection de deux droites a pour polaire la ligne qui joint les pôles de ces droites.
3° La droite qui joint deux points a pour pôle l'intersection des polaires de ces droites.
61. D'un point quelconque si Von mène deux sécantes à une circonférence et si Von joint directement et inversement les quatre points d'intersection pris deux à deux, la droite qui réunit les points de jonction est la polaire du point donné ifig- 26).
Soit A, le point d'où partent les sécantes MM 3 , M, M, qui donnent les points dç jonction A et As : il faut prouver que AA 3 est la polaire de Ai par rapport au cercle.
En effet, soient B et B, ies points conjugués de Aj par rapport aux points M et M 3 , M, et M 3 : nous savons ( 34 et 40) que BB t sera la polaire des angles MA 3 M S et MAM 3 ; donc elle se confondra avec AA 3 . Mais comme la définition de la polaire est la même pour un cercle que pour un angle (52), le théorème est démontré.
On verrait de même que Ai A, est la polaire de A, et Ai A celle de A?.
POLAIRES DANS LE CERCLE ET LES CONIQUES. 2g
62. D'après ce qu'on a vu (42), on reconnaît que toutes les sécantes de la Jig. 26, ainsi que la droite À,A 3 , se coupent harmoniquement les unes les autres : par exemple, les droites AiA a et Ai A, AiB et A,B, sont conjuguées deux à deux, et la ligne A,A, polaire de A,, est divisée harmoniquement en B et B,.
63. On sait que AA a , polaire de A,, passe aux points de contact E et Ei des tangentes partant de A, : comme AA, est aussi la polaire de A„ on voit, par la définition même de la polaire (52), que EE, est divisé harmoniquement en A et A,.
De même DD, est divisé harmoniquement en A et A,, ou bien AA, en D etD,.
En général, dans un triangle AA, A s dont chaque côté est la polaire du sommet opposé, chacun des côtés qui coupent le ce/vie passe aux points de contact des tangentes menées par le sommet opposé, et est divisé harmoniquement par la circonférence.
Corollaire. — Soient M, Mi, M„ M s quatre points d'une circonférence et A le point où se coupent IIM*, M,M 8 : on conclut réciproquement de ce qui précède que le point Ai, où se couperont M S M et M 2 M,, est sur la polaire de A. Ainsi ED,, E,D iraient se couper sur Ai A*.
*• IÏI. — Application au tracé des tangentes.
64. Pour mener des tangentes au cercle d'un point extérieur Ai, on peut conduire de ce point deux sécantes quelconques qut coupent la courbe aux points M et M», M, et M 2 . On réunit ces points directement et inversement, ce qui donne les points de jonction A et A». La droite A*A coupe la circonférence en E et Ei : il résulte des numéros précédents que A»E, A,E t seront^des tangentes.
De même, la droite AA, coupant la courbe en D etD„ on a les tangentes A, D et A 3 D ( .
65. Cette construction n'exige pas que le point A 8 , où vont concourir JfM, et M 3 M 3 , soit accessible; en effet, on pourra toujours joindre le point A au sommet inaccessible de l'angle formé par ces droites (48). Cette ligne coupe la courbe aux points E et E< que l'on joindra toujours au point donné A,.
3jO CHAPITBB III.
Observons enfin que ce dernier point A, peut lui-iriême être inaccessible ainsi que A,; rien n'empêchera de joindre de même le point E au sommet de l'angle formé par les droites M 3 M et M 3 Mi (48), on en fera autant pour le point E,.
