IV. — Polaires dans une conique

66. Les définitions seront les mêmes» pour une conique quelconque, que pour un cercle (52) ou pour un angle (34).

Ainsi, étant donné dans le plan d'une conique un point quelconque pris pour pôle, le lieu géométrique des points conjugués harmoniques de ce pôle, relativement aux deux où une droite qui y passe rencontre la conique, est la polaire du point donné.

Comme une conique, d'après sa définition même, est la perspective d'un cercle, et que la division harmonique, étant vraie pour Une transversale quelconque (29), subsiste dans la perspective, on voit que la polaire sera une droite dans une conique aussi bien que dans un cercle.

Comme les sécantes et les tangentes se correspondent dans }es deux courbes par la perspective, tous les théorèmes relatifs à la polaire dans le cercle sont aussi démontrés pour une conique quelconque, excepté la proposition où l'on a établi que la polaire est perpendiculaire dans le cercle au diamètre divisé harmoniquement; en général, la perspective ne conserve pas les relations d'angles.

On dit qu'un triangle AA, Ai est conjugué par rapport à une conique (jîg. 26) quand chacun de ses sommets est le pôle du côté opposé relativement à cette conique.

67. Il ne reste donc qu'à chercher, relativement à une conique qui a pour équation

ay 2 -h bxy + ex 7 -hdy -+- ex 4-/= o,

l'équation de la polaire d'un point dont les coordonnées

sont x 1 y y.

On sait que l'équation de la tangente menée en un point de cette courbe représenté par x', y* sera

iayf ~f- b [xf -h x'y) -+- ncxx' -H d( y-*-/) + <?(#-+- x')-\-if=o,

POLAIRES BANS LE CEBCLB ET LES CONIQtiES. 3l

équation dans laquelle on doit remarquer la symétrie qui existe entre les coordonnées courantes et celles du point de contact.

Un autre point de la courbe, représenté par x", y", donnerait une équation analogue à la précédente. Soient a et (3 les coordonnées du point où se coupent les tangentes aux deux points représentés par x', y* et x", j", on aura done

aaP7'+ft(«7 f +* / P)4-aca^'+rf(P+j')+«(a+J?0+a/=o f

H en résulte que l'équation

va$y+b{ay-hx$) + 'ic<zx-\-d($-hy)+e[a-}-x)-t-2f=o f

étant satisfaite pour les deux points de contact, sera celle de la droite qui joint ces points, c'est-à-dire de la polaire du point indiqué par a, (3.

Mais ce dernier point est assujetti à être extérieur : prenons donc, sur la corde quelconque qui réunit les deux points de contact, un point intérieur représenté par x l9 y t ; menons par ce point une autre sécante arbitraire qui sera aussi la polaire d'un point extérieur représenté par a', |3', et qui aura pour équation

?.a$'y+h(oLy+x$ , ) + 7.eu'x + d{$'^y)+e{oi , +x)+zf=:o.

Mais cette équation et la précédente pourraient s'écrire en remplaçant x et y par x l9 y l9 puisque les deux cordes passent au point ainsi indiqué. La relation qui en résulte étant donc vraie pour les deux points extérieurs est également vraie pour tous ceux de la droite qui les joint : on peut donc y remplacer les coordonnées particulières a et (3, a' et (3' par les coordonnées courantes x et y ; de sorte que

i(ixy l + b(xy i +Xty) + 'ïcxx l -hd(y-\-yi)-+-e{x+x l )-}-i>.f=o

sera l'équation de la polaire du point intérieur représenté par x x ,y x .

Ainsi x' et y r étant les coordonnées d'un pointde la courbe,

3 3 CHAPITRE Hl. — POLAIRES PANS LE CERCLE ET LES CONIQUES.

d'un point extérieur ou intérieur, l'équation de la polaire correspondante sera toujours

*€ffl'+b(xy t +x , y) + zcxx'+d[y+y')+e(x+x , )+af—o 9

ce qui s'écrit encore

jr(zay'-\-bx f -H d) + x ( 7.cx 9 ^rby f + e) -+- dy'+ ex? -+- a/=o;

Si Ton demande l'équation de la polaire d'un point représenté par x r 9 y\ relativement à une conique donnée par une équation de la forme

on posera

c'est-à dire que l'on transportera l'origine au point représenté par petq; alors aussi

^' — p — x\> .et y'—q—y x .

L'équation de la courbe étant donc

ay\ -+- bx x j, H- cx\ 4- dy x 4- ex, •+-/= o,

celle de la polaire sera

*ay x y\-hb {x x y\+x\y x ) + *cx x x\-+-d[y i ->t-y\)