I. — Définitions; construction de l'axe radical

68. Trois points étant en ligne droite, nous appellerons, avec Steiner, puissance d'un de ces points relativement aux deux autres, le produit des distances de ce premier point aux deux autres.

Le produit sera positif si ces deux segments sont comptés dans le même sens, c'est-à-dire si le premier point est d'un même côté des deux autres : au contraire, ce produit sera négatif si le premier point est entre les deux autres.

69. On définira d'une manière analogue la puissance d'un point relativement à un cercle.

On sait, par un théorème de Géométrie élémentaire, que le produit des deux segments comptés sur une droite à partir d'un point quelconque jusqu'aux extrémités de la corde que cette droite détermine sur le cercle est constant, c'est-à-dire indépendant de la direction de la corde : donc, si ce point donné est extérieur [fig. 27), le produit sera égal au carré de la tangente OA menée de ce point.

Pour un point intérieur 0', soit AO' perpendiculaire sur CO' :

le produit en question sera O'A.O'B = — O'A , car ces deux facteurs sont comptés en sens inverse.

On peut donc, dans tous les cas, prendre comme expression de ce produit, c'est-à-dire de la puissance du point, le carré de la distance du point au centre, moins le carré du rayon .

En effet,

OA=OC— R> et — 0'A=0'C— R'.

Il est clair que pour un point de la circonférence la puis- • sance est nulle.