MC - R' = MC — R

Soit

on posera

r>r'*~MG— MC'WCP — (7P,

en supprimant MP de part et d'autre, ce qui donne

R'— R" = CC'(CP-C'P) et CP — CT = R '~, R ' -

Mais déjà

CP -H C'P = CC', donc

Qg'-HP-E" c , p CC'Vr''-R»

Ainsi, la position du point P est constante, quel que soit le point M du lieu cherché : donc ce lieu est la perpendiculaire abaissée de M sur CC

71. L'axe radical peut être extérieur, tangent ou sécant aux deux cercles. Dans tous les cas, les points extérieurs de cet axe sont ceux par lesquels on peut, d'après la définition, mener à ces deux cercles des tangentes égales.

Observons encore que si les cercles se coupent, la droite d'intersection est l'axe radical. En effet, la puissance d'un point commun étant nulle pour les deux circonférences, ce point et son symétrique auront la même puissance.

De même, si les cercles sont tangents, la tangente commune est Vaxe radical.

72. Quand les circonférences n'ont aucun point commun, intérieurement ou extérieurement, Taxe radical ne rencontre ni l'une ni l'autre, sans quoi l'on retomberait dans l'un des cas précédents; mais alors voici la construction nécessaire pour obtenir cette droite {fig* 28).

D'un centre D arbitraire, mais convenablement choisi, décrivez une circonférence qui coupe les cercles donnés suivant les cordes AB, A'B', et joignez ces cordes qui concourent en un point M de Taxe radical cherché. En effet, par rapport au cercle D, on a

MA.MB = MA'.MB';

donc le point M est d'égale puissance relativement aux cercles C et C : il suffira d'abaisser MP perpendiculaire sur CC 73. Soit une sécante quelconque qui rencontre les circonférences aux points E et F, E' et F', et Taxe radical en N : on sait, d'après la définition, que NE.NF = NE'.NF'. Mais on peut concevoir que deux points d'une circonférence, tels que E et F, après s'être réunis en un seul, au moment où la transversale devient tangente au cercle C, deviennent imaginaires; cela n'empêche pas le produit NE.NF d'être toujours réel et égal à NE'.NF'. On peut même concevoir que la droite soit complètement extérieure aux deux cercles : les produits relatifs aux points imaginaires n'en seront pas moins réels et égaux à ceux que donneraient des sécantes, menées du même point de l'axe radical, de manière à couper l'une des circonférences, ou toutes les deux. L'équation

(x — tf)*H-( X — *)' — mn = "kx, où a est variable, représente, avec des axes rectangulaires, tous les cercles qui ont l'axe des y pour axe radical, car x = o donne toujours

74. On appelle centre radical de trois cercles un point d'égale puissance par rapport à trois cercles donnés. Pour faire voir que ce point existe, nous allons démontrer que les axes radicaux de trois cercles, pris deux à deux, se coupent en un même point, si les trois centres ne sont pas en ligne droite.

En effet, soit AB (fig. 29) l'axe radical des cercles C et C, EF celui de C, C", et GH celui de C, C" : le point O, où se coupent AB et EF, aura même puissance par rapport à C, C, C"; donc il sera aussi sur la droite GH.

Si les trois centres C, C, C* étaient sur une même droite, les axes radicaux seraient parallèles, et le centre radical O sérail

à l'infini.