CHAPITRE V. — RAPPORT ANHARXONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE

RAPPORT ANHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE.

I. — Rapports anharmoniques de quatre points en ligne droite.

86. Considérons quatre points en ligne droite, a, b, c 9 d (Jig. 36), et regardons-les comme conjugués deux à deux; par exemple, a et b 9 c et d. On appelle fonction ou rapport anharmonique une expression telle que —. : jr-v, c'est le rapport

des distances d'un point du premier système à ceux du second, divisé par le rapport analogue pour le deuxième point du premier système.

Ces quatre points forment six segments ab, ac, ad, bc, bd, cd, dont quatre entrent dans le rapport anharmonique qui, ainsi qu'on Ta vu, contient les quatre points; on pourra donc toujours prendre pour point de départ un quelconque de ces points, tel que a.

87. Le point a peut être conjugué avec 6, avec c ou avec d, ce qui donne les trois rapports

. ac # bc - ad cd - ab # db

ad * 53' ' ab* cb a ac ' de

Pour reconnaître ce qui a dirigé la formation de ces rapports,

et pourquoi le second, par exemple, est écrit -g : -r » au lieu

de —j : —i> il faut voir que les points sont conjugués comme il

suit:

a et b 9 c et d 9

a et c, d et b 9

a et d y b et c.

Le premier arrangement étant pris arbitrairement en suivant Tordre alphabétique, il faut éviter que la lettre d soit au der-

44 CHAP1TBE V.

nier rang dans le second, comme elle Test dans le premier; la notation précédente conserve la symétrie par une permutation tournante entre b, c et d.

88. Il est vrai qu'on pourrait encore disposer les lettres ainsi :

a et 6, d et

a et c, b et

a et d, c et

ce qui donne les rapports

., ad m bd y ab # cb

ac' bc x ad* cd

v ac m de t ~âb : db

Hais il est clair que Xk' = W, = >,%', = i; ainsi ces trois nouveaux rapports sont les inverses des premiers, que nous considérerons uniquement comme les seuls rapports distincts.

89. On peut prendre pour point de départ un quelconque des quatre points de la droite, au lieu de a, et Ton retrouvera toujours les mêmes rapports anharmoniques.

Ainsi, changeons un point dans son conjugué, et réciproquement, c'est-à-dire a en b et b en a, le rapport > deviendra

bc # ac ad # bd .,

bd ' ad ac* bc ~~

Si Ton changeait deux points conjugués a et b dans les deux autres conjugués c et d, et réciproquement, X se transformerait comme il suit :

ca % da ca # cb ac # bc ___ .

cb' db da* db ad* bd *

c'est-à-dire que 1 reste ce qu'il était.

90. Nous pouvons donc toujours, sans nuire à la généralité, admettre que l'on prend pour point de départ l'une des extrémités a de la droite, de sorte que ab 9 ac et ad seront positifs Il ne restera plus à comparer que les positions relatives de* autres points b, c, d, ce qui fera voir que deux des rapport anharmoniques sont positifs et que le troisième est négatif.

En effet, considérons les^/îg*. 3o, 3i et 32 (où nous imagine-

BAPPORT ENHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRÀPHIQUB. 4$

rons que les grandes lettres sont remplacées par des petites). Il sera facile de vérifier que la fig. 3o donnera

* > o, A, < o, X, > o ; pour la^ïg". 3i,

X<o, Ai>o, X*>o;

et enfin, pour lajig. 32,

L'inspection de ces figures montre encore que, pour le rapport négatif, deux points conjugués alternent avec les deux autres.