On pourra toujours résoudre le problème suivant

Connaissant un rapport anharmonique 1 de quatre points et trois de ces points, trouver le quatrième.

Si b est inconnu dans l'expression

on en tire

. ac bc ac.bd ad' bd ad.bc

bd . ad -t— = À. — • oc ac

Si d et c sont du même côté de b y ce que Ton voit par le signe positif du second membre» on pose

bd = bc — de,

ce qui est toujours vrai, même si c est entre b et d, car alors

— de = -f- cd.

Si, au contraire, -r- < o, le point b étant compris entre d et c,

on aurait

db = de — bc,

ce qui revient encore à substituer bd=:bc — de. On aura donc,

dans tous les cas,

de . ad i — -=- = /.—-> oc ac

ce qui donne le point b.

46 CHAPITU T.

92. Cette solution serait illusoire si le point inconnu b devait se confondre avec un des trois autres : c'est ce qui arriverait dans trois circonstances :

si 1 = o, bd = o, et b se confond avec d, si X == oo , bc = o, et b se confond avec c ;

enfin, si X = i, il reste

bd ad

bc ac

ce qui ne peut se vérifier que si b se confond avec a.

Ainsi, un rapport an harmonique peut avoir toutes les va* leurs positives et négatives, excepté o, ±oo , et -h i.

93. Lemme. — Quelle que soit la position relative de quatre points a, b> c, d, en ligne droite, on a la relation

ab.cd-t-ac.db-+-ad.bc = o.

Supposons cette propriété démontrée pour une position quelconque des quatre points, elle sera vraie pour toute autre position relative. En effet, si Ton change, par exemple, a en b et b en a, l'équation deviendra

ba.cd-\-bc.da-+-bd.ac=:Q 9

ou bien, en changeant les signes (1),

ab.cd-{-bc.ad-+-db.ac = o,

ce qui revient à l'égalité déjà supposée.

Il suffira donc de considérer un cas quelconque, par exemple (Jig. 36) celui où les points se suivent dans Tordre alphabétique. Tout se réduira à une vérification facile en posant

cd = ad — ac, db = da — ba, bc = ac — ab.

Donc la relation est générale; on reconnaît, dans la manière dont elle est écrite, la permutation déjà employée (87).

94». Relations entre les trois rapports an harmoniques 4 — On a trouvé (87), pour expressions de ces trois rapports,

~__ac.bd . ad.cb . ab.dc

~~ ad.bc ' ab.cd 2 ac.db