RAPPORT ENHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE
On constate d'abord que XX,X 2 = — i. En effet, dans ce produit, les longueurs ac, ab, ad se détruisent en haut et en bas* De même, bd et db, bc et cb, cd et de se détruisent, mais avec trois changements de signe qui donnent le signe — au produit.
D'ailleurs, si nous posons
ab.cd = m, ac .db-=^n> ad.be = p 9 ce qui donne, d'après le lemme précédent,
fn -f- n -+- p = o, on voit que
Alors
et X
On aura de même
On a aussi
95. Cas particulier du rapport harmonique. — Supposons, pour fixer les idées, que X soit celui des trois rapports qui est négatif, et prenons, comme cas particulier, X = — i : alors
ac.bd
ad.be
et nous avons vu (90) que les points conjugués a et b alternent avec c et d. Du reste, la relation indiquée revient à
ac.bd = ad. cb,
c'est-à-dire (23) que ces points donnent une division harmonique. * On trouvera encore, d'après le numéro précédent,
Xi=— f X, = 2.
IL — Faisceau de quatre ou plusieurs droites.
96. Avant de considérer un faisceau complet de quatre droites, nous démontrerons le lemme suivant :
Trois droites partant d'un même point déterminent sur les côtés d'un angle des rapports an harmoniques égaux, à partir du sommet de cet angle (Jig* 37).
Soient OB, OC, OD les droites qui coupent en b et (3, en c et y, en d et è les côtés de l'angle a; du point 6, que nous prendrons comme conjugué de a dans le rapport anharmonique que nous voulons démontrer, menons à a(3 la parallèle qui coupe OC en c t et OD en d x . Les triangles semblables bcc l9
acy donneront
. ay.bc
bci = — £ •
ac
De même, les triangles bdd l9 add donneront
aè.bd
Cela posé, nous avons aussi
ad
*£l — EL M' — PA 06 — Op* 06~~0(3*
Comparant les deux expressions du rapport jrr-j on a
ce qui revient a
(3y ay.bc m ac
p — âàTbd : aï
ay m (3y ac ^ 6c*
ainsi le lemme est démontré.
On a conjugué a avec b et (3 : comme les rapports anharmoniques obtenus en conjuguant a avec c ou avec rf d'un côté, avec y et à de l'autre, se déduisent des premiers (94), deux rapports analogues sont toujours égaux.
97. Une égalité de rapports anharmoniques, telle que celle qui est écrite ci-dessus, prouve réciproquement que (36, y c et àd concourent en un même point. En effet, soit le point
RAPPORT ANHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE. 49
où concourent yc et Sd, et joignons (30 qui coupe ad en un point pour lequel l'égalité précédente devra être aussi satisfaite. Ce point sera le point b lui-même, puisqu'il n'y a qu'une
ac bc seule solution pour cette égalité -%:rj = ) (19).
On pourra trouver ou vérifier ainsi la condition nécessaire pour que trois droites données par leurs équations relatives aux axes ad, ad concourent en un même point.
98. D'après le lemme précédent, il sera facile de démontrer le théorème fondamental que voici :
Un faisceau de quatre droites partant d'un même point est coupé par une transversale quelconque, suivant un rapport anharmonique constant (fig. 3 7 ).
Ainsi soient OA, OB, OC, OD quatre droites coupées par deux sécantes aux points a, b, c 9 d et a', b\ c\ d' 9 il faut prouver que l'on a
ac m bc a' c' # V c'
â^ : Jd~a T d' : b T d 79
Pour le démontrer menons d'un point a àe l'une des sécantes une parallèle à l'autre, et qui coupe les trois autres droites aux points (3, y, d. Nous avons trouvé (96)
ac % bc ay m (3y
ad ' Êrf~"â<Tp -
Mais soit r le rapport commun des côtés Oa et a\ (3 et b', Oy et Oc', 03 et Od', les triangles semblables donneront évidemment
ay=r.dc l , ad = r.a'd', (3y = r.6V, (3d = r.6'rf'.
On obtient donc l'équation indiquée.
On sait que les autres rapports anharmoniques se déduisent des premiers; ils sont donc aussi égaux deux à deux.
99. L'égalité des rapports anharmoniques de deux transversales, étant nécessaire pour établir le concours de trois droites en un point (97), ne peut suffire à prouver que, réciproquement à ce qu'on vient de démontrer, les droites aa', bb', cc'> dd f concourent en un même point 0; il faudra y joindre l'égalité analogue pour une troisième sécante.
5o CHAPITRB T.
100, Cas particuliers. — Il peut se faire qu'une transversale
soit parallèle à Tune des quatre droites ; alors l'un des points
a', V 9 c' f d' est à l'infini. Si c'est, par exemple, le point b', on voit
V d que £7-17 = 1, ces distances infinies devant être considérées
comme égales; alors il reste
a' c' ac m bc a' d' ad ' bd
De même, soit d à l'infini; le rapport anharmonique se mettant sous la forme
ac bd a'c' b' d 1
bc ad b' c' a'd'
il reste
ac a! c 1 b r d'
bc^Vd'a 7 ! 7 '
Si la première transversale est parallèle à OD et la seconde à OB, les points d et b' sont à l'infini, et il reste
ac a'c'
bc a'd'
