III. — Droites divisées homo graphiquement
102. On dit que deux droites sont divisées homo graphiquement lorsqu'on a marqué sur chacune d'elles une série de points tels, que quatre points d'une droite donnent le même rapport anharmonique que leurs correspondants de l'autre droite.
Ainsi, prenons sur l'une des droites (fig. 38) les points a, b,c,d, e,. . ., et sur l'autre les points correspondants a', b' 9 c\ d'y e'y... y ces droites seront divisées homographiquement si quatre points de l'une, tels que a, 6, c, rf, comparés à leurs correspondants de l'autre, donnent une égalité telle que
ac
bc a l c' b'&
ad' bd~~ a'd' ' b'd'
52 CHÂPITBB t.
II résulte de là que deux droites divisées homographiquement serviront de bases à deux faisceaux homo graphiques , quels que soient les sommets de ces faisceaux.
103. La fig. 38 généralise la fig. 37 dans laquelle la droite aa' concourt avec bb' , ce',.... Cela tient à ce que, dans cette fig. 37, le point S où se coupent les deux droites ab, a'b' est son correspondant à lui-même sur chacune d'elles. Mais il n'en est plus ainsi dans te fig. 38, où les droites aa' 9 bb',. . ., ne concourent plus en un même point; c'est ce que nous avions déjà indiqué (99); du reste, il est facile de ramener cette figure à la précédente, ce qui permettra de vérifier si deux droites données sont divisées homo graphiquement.
Pour cela, d'un point a de la ligne Sa (fig. 38) menons à Sa' la parallèle a(3, sur laquelle nous porterons a(3 = a'é', ay = a'c\ ... ; le point a étant son correspondant à lui-même sur les droites ab, a (3, les lignes 6(3, cy, d$,.. . concourront en un point 0, si la division harmonique existe en effet.
Cela posé, et étant donné un point e sur l'une des droites, on trouvera son correspondant e' sur l'autre droite ; il suffira de joindre Oe qui coupera a (3 en e, et de mener à aa', du point e, une parallèle qui coupera ab' au point cherché e'.
104. Si nous avons considéré plus de points dans te fig* 38 que dans la fig. 37, c'était pour montrer que la division homographrque s'étendait à un nombre indéfini de points correspondants sur chacune des droites; du reste, cette fig. 38 fait voir combien de points il faut considérer, dans la division homo graphique de deux droites, pour établir le rapport anharmonique qui leur est commun.
Il est facile de reconnaître qu'il suffît pour cela de trois couples dépeints correspondants sur chaque droite, sauf à prendre sur l'une d'elles un point arbitraire.
En effet, soient a et a', b et b', c et c' les points correspondants donnés (fig. 38); menons la parallèle a(3 à a'b', et V (3, c'y parallèles à aa' jusqu'à la rencontre de a(3, puis joignons (36, y c qui se coupent en 0. Enfin, soit d le point arbitraire pris sur ab; Qd coupera a(3 enô, etèd' parallèle à aa' déterminera d', correspondant de d.
RAPPORT A.NHARMON1QUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUK. 53
On obtiendra donc ainsi
ac bc de' b'c'
ad' bd~ a'd' ' b'd'
Dans cette valeur on voit en effet que d, étant pris arbitrairement, suffit pour trouver d'.
Ainsi se trouve résolu le problème suivant :
Connaissant quatre points sur une première droite et tes correspondants des trois premiers sur une seconde, trouver le correspondant du dernier.
105. Points correspondants à l'infini. — Deux droites étant divisées homographiquement aux points a, b, c, rf, . . . et a', b', c f 9 d', . . . , un point de Tune a toujours son correspondant sur l'autre. Cherchons donc, sur la première droite, le correspondant d'un point situé à l'infini sur la seconde; nous avons déjà indiqué cette question (100).
Soit donc b' celui des points de la seconde droite qui passe à l'infini, et indiquons par I, au lieu de b, le point correspondant. En égalant, comme on doit le faire, les expressions de >, X, h (04), avec les mêmes expressions accentuées et observant que, dans ces dernières, le rapport de deux longueurs infinies doit être considéré comme égala l'unité, on obtiendra
ac Id a'c' ad ci a'd' de al d'e' ad le a'd' cd al c'a' ac dl ac'
Puisque les trois rapports anharmoniques se déduisent les uns des autres, ces expressions donnent la même position pour le point I.
De même, si nous imaginons qu'un point b de la première droite passe à l'infini, appelons J' son correspondant sur la seconde, nous aurions, pour déterminer J', des expressions analogues aux précédentes et qu'il serait facile d'écrire.
Nous pouvons observer que la connaissance d'un point correspondant de l'infini, tel que I, équivaut à la connaissance de deux points correspondants, tels que b elb'. En effet, connaissant a et a', c et c' avec I et un point arbitraire d de l'une
des droites, une relation telle que— >•=— =-7-77 donnera le
^ ad le ad'
point d', correspondant de d. Réciproquement, trois couples
54 CBAPIT1E T.
correspondants a, c, d et a?, d, d' détermineront le point I au moyen de la relation précédente, et l'on aura de même le point J'.
Si de plus, dans cette relation, nous admettons que c passe à l'infini, on sait que d se confondra avec J\ et il restera
\d ctV ad~~ad r
Les formules écrites ci-dessus donneront aussi
ad a[# al d'V
al~~l'd'' el rfl~~~«M'"
Quoi qu'il en soit, on voit que les points I et J' étant donnés, un seul système de points correspondants a ei a 1 suffit pour trouver le correspondant d f d'un point arbitraire d.
106. Points doubles. — Jusqu'à présent les deux droites ont été prises d'une manière quelconque. Supposons maintenant qu'elles se confondent, c'est-à-dire que deux divisions homographiques distinctes soient prises sur la même droite : tout ce qui a été dit précédement s'applique encore ici.
Nous prendrons, comme origine, un point quelconque a de Tune des divisions; son correspondant sur l'autre sera a', et nous représenterons encore par I et J' les points correspondants de l'infini. Cela posé, on demande de trouver un point d qui se confonde avec son correspondant d\ c'est-à-dire qui soit à lui-même son correspondant sur la direction commune.
Dans ce cas particulier, l'une des égalités du numéro précédent devient —r =-p — Pour fixer les idées, supposons,
comme on peut toujours le faire (90), que ad et al soient positifs; a' d et J'd seront de même signe, c'est-à-dire que a' et J' seront du même côté de d. Alors
ad = aJ' + J'd = aa' -^dd,
car on peut même supposer (90) que le point a laisse tous les autres d'un même côté de la droite; du reste, s'il en était autrement, nous savons que les formules n'en seraient pas moins générales.
RAPPORT ANHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE. 55
Pour faire partir toutes les lignes du point a, comme nous l'avons dit, nous écrirons, d'après les formules précédentes,
J'd=ad — aV et a'd=ad — aa'.
Substituant ces valeurs dans le rapport -y= p-j* et réduisant, on a l'équation
ad — ad{aV -+- al)-hal.aa f z= o.
Soit O le milieu de la distance IJ\ il est facile de reconnaître que l'on a toujours
~ flJ' + al
donc
ad — 2a0.ad-{-aI.aa' = o.
Cette équation, étant du second degré, montre qu'il y a deux solutions : ces points e,f s'appellent des points doubles; mais il est clair qu'ils peuvent être imaginaires. Cependant, même dans ce cas, la somme et le produit de leurs distances au point fixe a serait toujours laO et al.aa'..
On comprend que les points doubles, comme les points correspondants à l'infini, comptent chacun pour deux points dans la détermination du rapport anharmonique. Du reste, ces points doubles étant e et /, mettons-les à la place de c et c', deld', dans l'expression d'un rapport anharmonique; il en
résulte
ae be a' e b' e
d'où
be b f e ae a'e
c'est-à-dire que la quantité tV-ïtv esl constante, quels que
soient les points correspondants b et b f .
107. Construction des points doubles. — L'origine a étant arbitraire, mettons-la au point O, milieu de 1J', et qui donne
«O = o et al = OI=: — OJ'; d'ailleurs, soit O', dans la seconde série de points, le corres-
pondant de dans le premier, l'équation se réduit alors à Ôd — 0J'.O0' = o, d'où Od = ±\lQV.OO'.
Ainsi, ces points e 9 /sont à égale distance de part et d'autre du point 0.
Les points doubles coïncident si 00' = o; alors e et/ se réduisent au point 0.
On peut concevoir encore que l'un des points doubles /
aille à l'infini. Alors, la relation précédemment obtenue (106),
, , . be b f . y be
qui peut s écrire jp—:j^= const., revient a rp = const.
C'est ce qu'on appelle le cas de deux divisions semblables.
Pour concevoir le sens géométrique de ce cas particulier,
prenons e pour point de départ, et imaginons que, l'une
des droites restant fixe, l'autre tourne autour de ce point e
eb ec d'un angle quelconque ; la relation —g = — , = . . . indique que
les droites bb', cd sont parallèles.
Pour trouver ce point unique e> un seul couple de points
correspondants b et b 1 suffira si le rapport de proportionne
nalité est donné ; alors, en effet, X = -rr- fera connaître e.
Si X n'est pas donné, il faut avoir deux autres points cor-
: espondants a et ai ; l'égalité
ae be . ae de , ab a'b'
-7— = T7- ou bien -7- = tt— donne t- = tt-7j ae b e be b e be be'
ce qui suffit pour déterminer e.
IV. — Application aux droites et aux faisceaux holographiques.
108. Si l'on joint un point quelconque aux deux séries de points qui divisent homographiquement une droite donnée, les rayons menés aux points doubles s'appellent des rayons doubles, car chacun d'eux est évidemment son correspondant à lui-même; ils deviennent imaginaires en même temps que les points doubles.
Ainsi, il ne peut y avoir de rayons doubles que dans les faisceaux de même sommet. Il n'existe donc aucun rapport entre ces rayons et le rayon commun de deux faisceaux homographiques qui ont des sommets différents etO'.
RAPPORT ANHARMONIQUË, DIVISION HOMOGRAPHIQUE. 5j
Ce rayon commun est nécessairement unique puisqu'il ne peut être que la ligne 00' elle-même.
109. En supposant, de plus, que 00' soit son homologue à lui-même, nous allons démontrer le théorème suivant :
Si deux faisceaux homo graphiques sont placés de manière que la droite qui joint leurs sommets soit son homologue à elle-même, les droites homologues, de part et d'autre, se couperont sur des points en ligne droite {fig. 39 ) ( * ).
Supposons donc que la ligne des sommets et 0' réunisse les directions homologues Oa et O'a', il faut prouver que les points |3, y, d,. . ., où se coupent 06 et 0'6', Oc et OV, . . ., sont en ligne droite. En effet, joignons (3y, qui coupe 00' en a; les points S et <î', ou cette droite coupe Od et O'tf', doivent coïncider parce qu'ils sont déterminés sur la transversale (3 y par deux rapports anharmoniques égaux par hypothèse, et dans lesquels les autres points a, (3, y sont les mêmes. Il est clair que cela s'étend à un nombre indéfini de droites de chaque faisceau.
110. Sur deux droites en division homographique (fig. 4°) soient a et a', b et 6', . . . des points correspondants, et joignons ab', àb qui se coupent en m, je dis que ce point est sur une droite constante. Soit 2 le point d'intersection de ab et de db' y soit sur ab le point S correspondant à 2 et sur a'b' le point S' aussi correspondant à 2, il faut prouver que m sera sur SS'.
En effet, les points b et V peuvent être considérés comme les sommets de deux faisceaux homographiques terminés aux points b' 9 d y 2, S' et b, a, S, 2. Or la droite des sommets bb r rentre dans le cas du numéro précédent, car c'est un rayon commun, puisque b et V sont homologues. De plus, les rayons homologues 62 et 6'Sse coupent en S ; de même bS' et 6'2 se coupent en S' : on voit donc, en renversant le raisonnement du numéro précédent, que les autres rayons homologues ba! et a'b se coupent sur SS'.
Ainsi, d'autres points, tels que n 9 /*,..., 1,..., seront en ligne droite avec m sur SS'.
Ce théorème est une généralisation de celui du n° 47.
( * ) Ici homologue signifie seulement correspondant.
111. Soient OA et OB, O'A' et O'B' deux couples de droites homologues dans deux faisceaux homographiques, soient m et n les points où se coupent les droites non homologues OA et O'B', OB et O'A', je dis que la droite mn passe par un point constant (Jig. 40*
Soit Ou, dans le faisceau 0, homologue de O'O dans le faisceau 0'; de même, dans le faisceau 0', soit 0'w r homologue de la droite 00' du faisceau 0; soit £2 le point où se coupent ces deux droites, il faut démontrer que mn passe en 12.
Pour cela, soit a l'intersection de OA et de O'A'; prenons aussi m sur O'A' et «' sur OA. D'après les constructions indiquées, ces droites OA et O'A' seront coupées homographiquement aux points ce, m, 0, &>' et a, n, a>, 0'; mais, comme le point a est son correspondant à lui-même, on appliquera ici Tobservaltion que nous avons faite au n° 103 sur la^îg*. 37, c'est-à-dire que les droites mn, Ow et a>'0' concourront en un même point £2.
Ce théorème étant démontré, si l'on connaît le point 12, on trouvera la droite O'C du faisceau 0', qui correspond à une troisième droite donnée OC dans le faisceair 0. Il sufGra de joindre £2 au point n' où OC coupe OA'; cette ligne de jonction coupe OA en m', et O'C est la droite cherchée.
Réciproquement, si l'on donne dans chaque faisceau les droites OA, OB, OC et O'A', O'B', O'C, on obtiendra le point Q, à l'intersection des lignes mn et m'n' . On pourra ainsi résoudre ce problème : étant données trois droites de chaque système et une quatrième de l'un d'eux, trouver la droite homologue dans Vautre système.
