V. — Applications au cercle et aux coniques

112. D'après la mesure connue d'un angle inscrit dans une circonférence, on conclut immédiatement le théorème suivant :

Soient pris quatre ou plusieurs points fixes sur une circonférence, les faisceaux obtenus en joignant ces points à un point variable sur cette circonférence sont homographiques (101).

113. Lemme. — Deux tangentes à un cercle étant fixes, si l'on mène plusieurs autres tangentes, leurs parties comprises

RAPPORT ANHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE. 5g

entre les deux premières seront vues, du centre du cercle, sous des angles égaux ou suppléments L'un de l'autre.

En effet, soient A et A' (Jig. ^i) les points de contact de deux tangentes fixes, et m le point de contact d'une troisième tangente aaf; les deux droites Ca, Ca', issues du centre du cercle, sont perpendiculaires aux deux droites mA, mA', et font entre elles un angle aCa\ supplément de l'angle A m A', dont les deux côtés sous-tendent la corde fixe AA\ L'angle inscrit Am A' étant donc toujours égal à un angle fixe, ou supplémentaire de cet angle, suivant la position du point m sur la circonférence, il en sera de même pour l'angle aCa'.

Corollaire. — Si la corde AA' est un diamètre, l'angle A m A' sera droit, et il en sera de même pour l'angle aCd. Ainsi, la portion d'une tangente au cercle comprise entre deux tangentes parallèles est vue du centre sous un angle droit.

114. Si la ligne Ca décrit un certain angle, la ligne Ca' décrit donc le même angle : ainsi quatre ou plusieurs positions de Ca et les positions correspondantes de Ca' forment deux faisceaux homographiques et même superposables quant aux directions. Il en résulte que les tangentes fixes sont divisées ho mo graphiquement par la tangente mobile.

115. Ainsi, quatre portions quelconques de la tangente mobile, marquant une certaine division homograpbique sur la droite OA, marqueront la même division sur la droite OA', qui sera mobile elle-même si l'on fait varier le point 0. Alors, ces quatre positions de tangentes étant regardées comme fixes, on a le théorème suivant :

Quatre tangentes sont rencontrées par une cinquième en quatre points dont le rapport anharmonique reste le même, quelle que soit cette cinquième tangente.

116. Si nous appelons rapport anharmonique de quatre points fixes celui des quatre droites menées de ces points à un point quelconque, tel que m sur la circonférence (112), et rapport anharmonique de quatre tangentes fixes celui de leurs quatre points d'intersection par une cinquième tangente ou même par une droite quelconque, nous aurons le théorème suivant :

Le rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle est égal à celui des quatre points de contact.

6o CHAPITRE V. — RAPPORT ANHARMONIQUE, DIVISION HOMOGRAPHIQUE.

En effet {Jig. 43), le rapport anharmonique des quatre points a, b, c 9 d est celui des quatre droites menées de ces points à un autre point m de la circonférence, et le rapport anharmonique des tangentes en ces points est celui des quatre points d'intersection de ces tangentes par la tangente en m. Soient a, (3, y, à ces quatre points d'intersection, leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre rayons menés du centre du cercle à ces points, et, comme ces rayons sont respectivement perpendiculaires aux quatre droites qui vont du point m aux quatre points a, b, c, rf, leur rapport anharmonique sera égal à celui de ces quatre droites (101), c'est-à-dire à celui des quatre points a, b, c, d: ainsi les deux rapports sont égaux.

117. La perspective n'altère pas les rapports anharmoniques, puisque toute transversale coupe un faisceau suivant un rapport anharmonique constant (98). Ainsi, un plan passant par le sommet du cône déterminera sur le plan du cercle de base et sur celui d'une conique quelconque deux transversales telles, que les points qui y seront marqués par des droites menées du sommet du cône auront le même rapport anharmonique de part et d'autre.

Or, comme les points des deux courbes se correspondent, ainsi que les sécantes et même les tangentes, puisque deux points s'y réunissent, on voit que les propositions de ce paragraphe relatives aux rapports anharmoniques, c'est-à-dire celles des n°* 112, 114, 115 et 116, sont vraies pour une conique quelconque aussi bien que pour une circonférence.