I. — Propriétés qui définissent l'inyolution

118. On dit que six points en ligne droite et conjugués deux à deux, a et a', 6 et 6', c et d sont en involution, lorsque le rapport anharmonique de quatre d'entre eux, appartenant aux trois systèmes, est égal à celui de leurs conjugués respectifs.

Pour justifier cette définition, il faut démontrer que, si elle s'applique, par hypothèse, à quatre points pris dans les conditions précédentes, elle sera également vraie pour toute autre combinaison analogue.

Il peut exister des combinaisons de deux natures différentes suivant qu'il y entre deux points accentués et deux sans accents, ou bien trois points sans accents avec un accentué, et réciproquement. Du reste, une combinaison quelconque fournit trois équations qui correspondent à chacun des trois rapports anharmoniques (87), suivant que Ton considère les quatre points et leurs conjugués dans un ordre quelconque; en effet, comme deux des trois rapports anharmoniques dépendent du troisième (94), une seule équation entraîne les deux autres.

119. Prenons une combinaison de la première espèce, a, b' 9 c, c et disposons d'abord ces points de la manière suivante, a et b f , c et d, c'est-à-dire en sorte que les points correspondants c et d soient conjugués anharmoniquement. Nous avons donc, par hypothèse,

ac % b'c a'd m bc'

ad * b' d de' bc

Mais cette égalité peut évidemment s'écrire sous la forme

ac bc a'd b'd

ad ' bd a'c bc

et Ton reconnaît le rapport anharmonique d'une combinaison

de la seconde espèce

a et 6, c et d.

120. La combinaison de première espèce peut encore présenter la disposition suivante : a et c d'un côté, b' et d de l'autre, ce qui donne

ab' cb' a'b db oc' ' cd a'c ' de

Ici le facteur cd qui est commun, sauf le signe, pourrait être supprimé; rien n'empêche donc de le remplacer par ad ', ce qui donne

ab' ad a'b a! a

ad cb' a' c d b

Or, il est facile de constater que cette égalité peut encore s'écrire de la manière suivante :

aV cb' a'b c'b

ad ' cd a' a * d a

Ainsi la combinaison donnée, de première espèce, peut reproduire aussi une autre combinaison

a et c, b' et a\

également de première espèce.

121. Passons à la combinaison de seconde espèce qui peut s'écrire a, b, c, d . Si nous la disposons comme il suit :

a et 6, c et c',

nous obtenons

ou bien

ac bc a'd V d

ad ' bd de * b'c ac b'c a'd bd

ad ' b'c' de ' bc*

ce qui donne la combinaison de seconde espèce

a et b' 9 c et c'.

En un mot, c'est l'inverse de ce qu'on a vu au n° 119.