IV. — Point central

130. Considérons donc quatre couples a et d \ b et 6', cetc*, d et d 1 en involution trois à trois; nous aurons, en remplaçant c et c' par d et d' dans la troisième des formules ( i) (127),

la relation

da.dd d' d .d' a

db7dF~~ d'b'.d'b*

Si d' est à l'infini, le second membre se réduit à l'unité ; alors, soit 0, au lieu de d, le conjugué de d' 9 il reste

Oa. Oa' =06.06'.

Mais, comme on peut (128) remplacer a et d ou 6 et b' par c et c' 9 on a l'égalité double

Oa.Od = 06.06' = Oc. Oc'.

Ainsi, étant donnés trois couples de points en involution, on appelle point central le conjugué de l'infini par rapport à ces points.

131. Le point a une signification géométrique très-importante. Si nous décrivons des circonférences sur aa! et sur 66' comme diamètres, il est clair que le point est celui où Taxe radical de ces cercles coupera la droite d'involution ; comme il en sera de même pour la troisième circonférence comparée aux premières, les axes radicaux des cercles pris deux à deux coupent celle droite au même point, c'est-à-dire que ces cercles ont le même axe radical»

132. Réciproquement, si trois circonférences dont les centres sont en ligne droite ont même axe radical, les extrémités de leurs diamètres sur la ligne des centres sont en involution.

En effet, soient a et a', b et 6', c et d les extrémités de ces diamètres, et le point où la ligne des centres est coupée par Taxe radical commun. Ce point ayant même puissance pour les trois cercles, on aura

Oa.Oa' =06.06' = 0c.0c';

d'ailleurs le point est suffisamment déterminé par la seule égalité

Or, si le point c' n'était pas le conjugué de c pour faire une involution avec a et a', 6 et 6', il y aurait un autre point c" qui jouirait de cette propriété. Le point central étant donc connu, ainsi que nous venons de le dire, par la considération des deux premiers couples, on aurait

par conséquent

ce qui prouve que c" coïncide avec c\