Supposons maintenant que deux des trois cercles, ad

et bV (Jig. 45), soient extérieurs l'un à l'autre. II sera d'abord facile de constater, en allant d'une circonférence à l'autre, que, dans cet intervalle db, doit se trouver un point d'égale puissance par rapport à toutes deux, car le point a' a une puissance nulle pour la première, et le point b pour la seconde. Ainsi le point O sera entre les deux cercles.

Cela posé, comme le produit Oa.Oa! =0i.0fc', est aussi égal au produit Oc. Oc? relatif à la troisième circonférence, on voit que Oc. Oc' sera aussi positif; ainsi, pour la troisième circonférence, comme pour les deux premières, c et c* seront d'un même côté du point O. Supposons qu'ils soient du côté des points a et a', par exemple, et admettons que la première circonférence soit celle qui s'écarte le plus du point 0, c'est-à-dire que l'on ait 0a>0c L'égalité Oa.Oa! = 0c.0c* montre que l'on aura par compensation Oc'^Oo'; par conséquent le troisième cercle sera intérieur au premier.

Ainsi le second cas de t'involution suppose un segment bb f séparé des autres par le point central, de l'autre côté duquel sont aa' et cd contenus l'un dans l'autre.

139. Il ne reste plus, comme cas général, que celui où les trois cercles sont les uns dans les autres (Jig. 46). Les points se suivent alors dans un ordre inverse, tel que a, b, c et c' , b', a!.

Il est clair que le point central est extérieur au système des trois cercles, car s'il était dans l'intérieur, même du plus grand, l'axe radical commun couperait ce cercle, ce qui n'arrive que pour des circonférences sécantes.