Étant donnés sur une droite deux couples de segments
aa' , bV et AA', BB', on demande un segment ce 1 qui soit en involution avec chacun de ces couples.
Par un point arbitraire G, menons deux circonférences dont la première passe en a et a', la seconde en b et b' ; elles se
APPLICATIONS DE i/lNVOLUTION. 'jS
couperont en un autre point G' : par le même point 6 menons encore deux circonférences qui passent Tune en A et À', l'autre en B et B' ; elles se couperont encore en un point G". La circonférence passant aux trois points G, G', G" déterminera sur la droite d'involution le segment demandé ce' .
En effet, soit o le point où GG' coupe cette droite d'involution, les égalités
oa.oa' = oG.oG' et ob.ob' = oG.oG' 9
donnent
oa.oa' = ob.ob',
c'est-à-dire que o est le point d'égale puissance pour les segments aa'y bb'. Donc aussi
oa . oa' = ob . ob' = oc . oc',
puisque c et c', G et G' sont sur une même circonférence.
De même GG* coupera la droite au point O d'égale puissance pour AA' et BB', ce qui donnera encore
OA.OA' = OB.OB' = Oc. Oc'.
Le segment ce' est donc celui que l'on demandait. Il se réduit à un point double si la circonférence GG'G" touche la droite donnée; si elle ne la rencontre pas, ce segment est imaginaire. Si les points m et n, M et N où se coupent les circonférences qui ont pour diamètre aa! et bb' > AA' et BB', sont tous réels, il est clair qu'une même circonférence passe par ces quatre points et coupe la droite en c et c'. En effet, puisque o et O sont les milieux de mrï et de MN, on a
om = oa.oa' = ob.ob' = oc. oc', et
OM 2 =OA.OA' = OB.OB' = ;Oc.Oc'.
Le point o étant le pied de l'axe radical des circonférences ad et ce' y de même que O est le pied de l'axe radical entre les circonférences AA' et cc\ on voit que l'on résout ainsi le problème suivant :
76 CBAPITM VU.
Construire un cercle qui ait un axe radical donné avec une circonférence donnée, et un autre axe radical donné avec une autre circonférence également donnée, ces axes étant parallèles*
162. Il peut se faire qu'un segment, tel que aa\ se réduise à un seul point a ; alors la circonférence passant par le point G est tangente en a à la droite.
Si les quatre segments se réduisent ainsi à quatre points a, b, A, B, les points cherchés c et c' divisent harmoniquement les distances ab et AB. Pour le vérifier, soient o et les milieux de ab et AB, on aura par l'involution,
oc.oc' = oa 9 Oc.Oc / = OA,
et ces formules sont justement celles que Ton a trouvées pour les points qui divisent harmoniquement ab et AB (26).
Ainsi quand deux points divisent harmoniquement deux segments sur une droite, ces trois segments sont en involution.
On obtient donc par la construction précédente (161) la solution du problème déjà indiqué (26):
Trouver deux points qui divisent harmoniquement deux segments en ligne droite.
Mais il vaut mieux (n° 8 8i et 149) décrire un cercle ayant pour centre un point suffisamment éloigné de Taxe radical des circonférences qui ont ab et AB pour diamètres, et ayant pour rayon la tangente menée de ce point aux circonférences. Cette nouvelle circonférence coupe la droite aux points e et/, identiques avec c et c 9 .
