III. — Involution dans le quadrilatère

165. Une transversale coupe les côtés opposés d'un quadrilatère, ainsi que les diagonales, suivant des points conjugués en involution.

La démonstration vient d'être faite (163) sur les Jig. 5i, 52 et 53, relativement au quadrilatère ABCD, dont une transversale coupe les côtés BC et AD en a et a', les côtés AB et DC en c et c' et les diagonales BD et AC en b' et b : il reste seulement à voir en quoi ces trois figures diffèrent.

Dans la^/îg*. 5i, la transversale coupe les diagonales dans l'intérieur du quadrilatère, ce qui donne aux points en involution la même disposition que dans \&fig. 46.

'jS CHAFIT1E TI1.

Dans \*fig- 5i, les deux diagonales sont coupées en dehors du quadrilatère, ce qui ramène à la disposition de là fig. 45*

Enfin, dans la fig. 53, l'une des diagonales est coupée à l'intérieur du quadrilatère et l'autre à V extérieur. On trouve ainsi \*fig- 44*

Dans ces troisjîg. 5i, 5a, 53, nous avons supposé le quadrilatère convexe : cela n'était pas nécessaire; mais cela suffirait, comme on l'a vu, pour retrouver les trois cas généraux de l'involution.

166. On trouve ainsi un nouveau moyen de construire le sixième point d'une involution.

Étant donnés sur une droite les points a, b, c, a!, b r > si l'on demande le point c\ conjugué de c, il faut mener, du point quelconque A, les droites A a', kb, kc; conduire par le point V une droite quelconque qui coupe ko! en D et kc en B, joindre aB qui coupe Ai en C, et enfin tirer DC qui rencontre la droite donnée au point cherché d .

Si l'on décrit des circonférences sur ad , bb\ cd comme diamètres, on sait qu'elles ont le même axe radical; donc elles se coupent dans le cas de la fig* 53. C'est ce cas qui se présente pour un parallélogramme.

167. Si Von joint un point quelconque aux six sommets d'un quadrilatère complet, on a un faisceau d' involution

(fig> 54).

Soit ABCD le quadrilatère donné, E et F ses deux sommets

supplémentaires, et le point donné : on voit, d'après ce qui

précède (165), que le quadrilatère OABF et ses diagonales AB,

OF sont coupés en involution par la transversale DC, et l'on

voit quelles sont les droites conjuguées dans le faisceau ainsi

formé.

168. Le point peut être à l'infini, ce qui donne six droites parallèles : il en résulte que les projections des six sommets sur une droite quelconque sont en involution.

Si le point (fig. 54 ) est un des points d'intersection des circonférences décrites sur les diagonales AC, BD comme diamètres, les droites menées de ce point à chaque couple de sommets opposés seront rectangulaires; donc les deux autres droites OE, OF de l'involution seront aussi rectangulaires (152, 2 e corollaire). On a donc ce théorème : les trois