Théorème de Desargues

Étant donné un quadrilatère inscrit dans un cercle ou une conique, une transversale quelconque coupe la courbe et les côtés opposés du quadrilatère suivant six points conjugués en involution (fig. 55).

Soit ABCD le quadrilatère dont les côtés AD et BC, AB et DC sont coupés, en a et a', b et b' 9 par la transversale qui rencontre la circonférence du cercle en c ei c'. Un théorème connu donne

ac.ac' = aA.aJ) et de. de 1 = a'B.a'C,

d'où

ac.ac' aA.aJ)

de. de 1 ~ dh.dC

Soit F le point où concourent AD et BC, et considérons le triangle ¥ad coupé successivement par les deux autres côtés AB et DC. Le premier donne

¥A.ab.dB = ¥B.db.aA, et le second

FV.aV.dC = FC.a'b r .aV.

So CHâPITIK tu.

Multipliant, et observant que

FA.FD = FB.FC,

il reste

ab.a'B.al/.a'C = a , b.ak.a i b\aB, ou bien

aA.ûD ab.aV

par conséquent

ac.ad ab.aV

a'c.a'd db.a'b'

ce qui établit l'involution (127).

171. Si Ton prend pour conique l'ensemble des diagonales AC, DB, on retrouve le théorème sur le quadrilatère (165). Aussi soient d et d! les points où la transversale coupe les diagonales, dd' est en involution avec cd et ad, ou bien avec cd et bb'.

Si AD dégénère en tangente (Jig. 55), on voit que les six points déterminés par une transversale sur une conique, sur deux côtés d'un triangle inscrit, enfin sur le troisième côté et la tangente au sommet opposé, sont en involution.

172. Si trois droites partant d'un même point coupent une circonférence ou une conique, les six points ainsi obtenus forment un faisceau d' involution quand on les joint à un point quelconque de la courbe (Jig. 56).

Les sécantes partant du point déterminent sur la circonférence les points a et a', b et b', c et d; soit m un point de la courbe, il faut montrer que le rapport anharmonique de ma, mb, me, md est le même que celui de ma', mb 1 , md, me.

La droite 0/n coupe la circonférence en m'; les faisceaux ma, mb, me, md et m'a, m'b, m'e, m'd, aboutissant aux mêmes points, donnent les mêmes angles inscrits, et par suite le même rapport anharmonique. Mais les droites m'a et ma', m'b et mb', m'e et md, m'd et me se coupent deux à deux, sur la polaire du point 0, par rapport à la circonférence (61). Donc cette polaire étant une sécante commune au faisceau m'a, m'b, m'e et m'd que nous venons de considérer et au faisceau ma', mb 1 , md, me, ils ont le même rapport anharmonique. Or, le premier faisceau a aussi, comme nous l'avons vu, le même rapport anharmonique que ma, mb, me, md; il

APPLICATIONS DE i/lNVOLUTION. 8l

en est donc de même pour le second, ce qui démontre la proposition.

Réciproquement, s'il y a involution, les trois sécantes concourront en un même point.

173. Soit Oad (Jig. Sy ) une quelconque des sécantes, et ma 9 ma! les rayons correspondants du faisceau m. Joignons ce point m aux extrémités À et A' du diamètre CO; il est clair que les droites mA, mA' seront les rayons conjugués perpendiculaires du faisceau m (154.). Alors

tang A ma. tang A ma! = const., ce qui revient à

tang- ACa. tang - ACa' = const.

Pour connaître la valeur de cette constante, il faut mener la tangente OT; on obtient

tang - OCa. tang - OCa' = tang 2 -! OCT,

et d*ailleurs

, ï^™ i — cosOCT OC — R OA lang ^ OCT= H-cosOCT = ÔCTR == C)Â î '

Enfin, il est clair que l'angle AA'a est la moitié de ACa ou de OCa; de même AA'a' est la moitié de OCa' : menons au diamètre AA' la perpendiculaire a'F, qui coupe A'a en E; on voit que

i „ EF # . i AP , a'F

tang - OCa = ^ tang - OCa' = -y-,

ce qui donné

EF.a'F OA ~~OA'*

(Il est clair que ce numéro ne se rapporte qu'au cercle.) 174. Lemme. -— Un quadrilatère étant circonscrit au cercle

8 2 CBkTïTME Tn.

<w A une conique, tes diagonales qui joignent les côtés opposés concourent au même point que les droites qui joignent les points opposés de contact (Jig. 58).

Des deux points et A, menons à une circonférence des couples de tangentes, qui formeront le quadrilatère aoLatd, ayant pour points de contact ï 9 i et g, g. Or, iï', polaire de A, et gg'> polaire de O, concourent au pôleP de ÂO; de plus, les droites ig' et i'g concourent en un point H, situé sur AO ( corollaire du n°63): par conséquent, ce point H, où se réunissent ig 9 polaire de a 1 , et F g, polaire de a, est le pôle de aa\ Il en résulte queaa' passe au pôle P de la droite AO, qui contient le point H.

On verrait de même que al a passe en P. Nous retrouverons ce théorème n° 396.

175. Si de trois points en ligne droite on mène des couples de tangentes à une circonférence ou à une conique, ces tangentes déterminent, sur une autre tangente quelconque, six points en involution (Jig. 59).

Du point O, où la droite des points donnés A, B, C coupe la tangente donnée OM à la circonférence, menons l'autre tangente OM', qui coupe les tangentes indiquées aux points a et a', (3 et (3', y et /. Il suffît de prouver que les points a, b, c, d ont les mêmes rapports anharmoniques que leurs conjugués a r , V 9 c'y c. Or le rapport anharmonique des points a, b, c, d, où quatre tangentes sont rencontrées par une cinquième OM, est le même que celui des points a, (3, y 9 /, où ces quatre mêmes tangentes sont rencontrées par une nouvelle tangente quelconque OM' (115). Mais aussi les droites *a', {36', y d , y' c passent par le même point P, qui est le pôle de la droite ABC (174); donc le rapport anharmonique des points a, (3, y, y 1 est le même que celui des points a 1 , b', d f c, ce qui démontre le théorème demandé.

176. Soient D et D' [Jig. 60) les points où la tangente quelconque M à la circonférence est coupée par deux tangentes parallèles ED, E'D', qui rencontrent les tangentes ka et Aa! en F et F' : on sait (corollaire du n° 113) que l'angle DOD' est droit. Donc ces lignes OD, OD' sont les rayons rectangulaires de l'involution (154), ce qui donne

langPOa.tangPO«' = const.

APPLICATIONS DB l/l«VOLUTION. 83

Soit KAK' parallèle aux tangentes, et cherchons à rapporter les sommets des angles au point A.

Extérieurement au triangle OaD,

angle ODa' = DOa-hOaD.

t)e même, extérieurement au triangle FaD,

angle FDa' = BFa H- FaD;

mais FDa' est double de ODa' et FaD double de OaD; donc DFa est double de DOa. Ainsi

DOa = -KAa.

Ensuite, l'angle Oa'D, extérieur au triangle Oa'D', donnera

Oa'D = OD'a'+ D'Oa'; de même, l'angle F'a'D, extérieur au triangle F'a'D', donnera

Mais

donc

Oa'D = i F'a'D, OD'a' = - F'D'a';

D'Oa / = -D / Fa',

Du reste

DOa' = 90 — D'Oa',

puisque DOD' est droit. Mais nous avons trouvé

D'Oa 1 = - D'F' a' = - KAa'; 2 2

KAa'=i8o — K'Aa',

-KAa' = 9o — -K'Aa',

ce qui montre que

DOa' = - K'Aa'.

84 CBAPITM fil. |

On aura donc

tang - KAa.tang - K'Aa' =const.,

c'est-à*dire que :

Si, de chaque point d'une droite, on mène deux tangentes à un cercle, le produit des tangentes t ri gono métriques des demi-angles quelles font avec la droite est constant.

Les deux angles doivent être comptés de manière que, quand les deux tangentes deviennent parallèles à la droite AK, l'un d'eux soit nul et l'autre égal à 180 degrés.