V. PftlNCIPX DE CONTINUITÉ

177. Comme c'est ici la place d'un théorème sur l'involution dans trois coniques, nous allons énoncer dès à présent un principe fécond établi par M. Poncelet, et qui, non-seulement nous servira à démontrer le théorème dont il s'agit, mais nous sera souvent utile dans le courant de cet ouvrage.

La construction d'Une figure peut présenter diverses circonstances, tout aussi générales les unes que les autres. Par exemple, deux coniques sur un même plan peuvent avoir quatre points communs, deux points seulement, ou n'avoir aucun point commun; on voit qu'il ne faut pas confondre ces cas généraux avec des cas particuliers, tels que ceux des contacts entre les coniques.

Cela posé, si l'on demande de démontrer sur une figure un théorème dont l'énoncé ne se rapporte pas plus à un cas généra] qu'à un autre, le mieux serait sans doute de trouver une démonstration qui, elle aussi, s'appliquât indifféremment à tous les cas généraux. Mais quelquefois cela devient trèsdifficile, et Ton éprouve au contraire un grand avantage à profiter des dispositions spéciales de la figure dans un des cas généraux; voici, d'après cela, l'énoncé du principe de continuité :

Si l'énoncé d'un théorème ne se rattache pas à un des cas généraux de la figure, la proposition qui aura été démontrée pour un de ces cas sera vraie aussi pour les autres*

Maintenant, voici comment on peut concevoir la vérité de ce principe.

APPLICATIONS DE l/lNVOLUTION. 85

Imaginons, comme on peut toujours le faire, que la question ait été traitée par l'analyse pure; puisque l'énoncé ne se rattache pas à un des cas généraux, les équations, établies d'après l'hypothèse qui sert de base au théorème, ne s'y rattacheront pas non plus. Or ces équations, une fois posées, conduiront nécessairement par la seule puissance de l'analyse à l'équation finale qui est l'expression du théorème, et où les données de la question seront encore aussi générales. On peut donc toujours comprendre que l'on parvienne à ce théorème autrement que par l'artifice, qui consiste à considérer un des cas généraux; seulement cet artifice a l'avantage de conduire au résultat final en évitant une analyse toujours possible, mais quelquefois si pénible, qu'elle serait presque impraticable.

178. Pour éclaircir ce qui précède, nous allons appliquer ce principe à un théorème dû à Sturm et qui généralise celui de Desargues (170) :

Quand trois coniques passent par quatre mêmes points, une transversale les coupe suivant six points en involution.

En effet, imaginons par les points À, B, C, D (fig. 55) une seconde conique sur laquelle la transversale détermine le segment éd. Nous verrons, par un raisonnement déjà employé (171), que ed est en involution avec aa' et dd'; donc aussi (128) ed est en involution en cd et dd'. De même une troisième conique, coupée parla transversale suivant un segment ff, donnera ff en involution avec cd et dd'; par conséquent ff' sera en involution avec ed et ce'.

Il en serait de même pour toutes les coniques passant aux mêmes points A, B, C et D.

Ce théorème s'étend, pour le principe de continuité, aux cas où deux des points communs, ou même tous les quatre, seraient imaginaires. Comme les coniques sont toujours réelles, on n'a pas à craindre que les équations de condition nécessaires pour exprimer que deux coniques ont quatre points communs présentent jamais des symboles imaginaires, si pénibles d'ailleurs qu'elles soient à obtenir. Cela tient à ce que les coordonnées, même imaginaires, des points communs, devront se disposer de manière à ne laisser dans ces équations que leur somme ou leur produit.