CHAP1TUE TH

179. On a vu (82) que les polaire* d'un point de l'axe radical, prises relativement à ces deux cercles, se coupent sur un point de cet axe. Mais, pour démontrer ce théorème, on a supposé que l'axe radical rencontrait les cercles en deux points réels; le principe de continuité fait voir qu'il en serait de même si ces deux points étaient imaginaires.

180. Dans les exemples précédents, ce principe a été utile pour passer des points réels aux points imaginaires. 11 peut servir, au contraire, à passer des points imaginaires aux points réels; en voici un exemple :

Deux coniques étant données sur un même plan, il existe généralement dans l'espace un point tel que, si l'on prend ce point pour sommet commun de deux cônes ayant ces coniques pour bases, un même plan donnera dans ces cônes des sections circulaires.

En effet, un cône étant déterminé par sa base, que nous supposerons dans le plan des xy, et par les trois coordonnées de son sommet, la direction des sections circulaires est déterminée, sauf à présenter une double solution. Donc

ax -f- by -+- cz = i ,

élant l'équation d'un plan parallèle à l'un des systèmes de ces sections, il existe trois relations entre les constantes de l'équation de la base, les coordonnées x' y y, z' du sommet et les coefficients a f b, c.

Un second cône ayant même sommet et même direction de base circulaire donnera trois autres relations : il y aura donc six équations entre les six inconnues a, b, c et x', y', z'; le problème peut donc, comme nous l'avons dit, être généralement résolu.

Il en résulte qu'une foule de théorèmes, établis sur deux cercles dans un même plan, s'étendront par la perspective à deux coniques sur un même plan.

Cependant, d'après les indications précédentes, il est possible que le plan des sections circulaires ou le sommet luimême du cône deviennent imaginaires, auquel cas ce que nous avons dit est illusoire. C'est aussi ce qui a lieu si les coniques données se coupent en quatre points réels, au lieu d'avoir seulement deux points communs, ou même de n'avoir

APPLICATIONS DE l'iNVOLCTION. %

aucun point commun; cela tient à ce que deux cercles, n'ayant jamais quatre points réels communs, ne peuvent donner comme perspective deux coniques jouissant de cette propriété.

Néanmoins on doit admettre, par le principe de continuité, que les théorèmes démontrés par la perspective sont encore vrais, même quand les coniques ont quatre points communs réels.

181. Nous aurons souvent à appliquer ce principe dans les circonstances suivantes.

On sait que le cercle engendre une conique quelconque au moyen 4e la perspective, mais qu'il engendre seulement une ellipse au moyen des projections, c'est-à-dire quand le cône dégénère en cylindre. Cependant, comme l'ellipse est un cas général des sections coniques, un théorème dont l'énoncé ne se rapportera pas plus à une conique qu'à un autre pourra se trouver démontré, au moyen des projections, sur l'équation générale j* = 2/fcr 4- fl.*?». Observant encore que l'analyse pure conduirait au même résultat, on verra que le théorème sera vrai, quel que soit le signe de q et pour le cas particulier de la parabole où q = o.

On peut aussi passer de l'ellipse, qui a pour équation cen-

traie — 5 —I— "^ = 1 , à l'hyperbole représentée par — — fs = * » *'

suffit de changer 6* en — bK

182. Cependant, il faut éviter les fausses applications que Ton pourrait faire de ce principe. Ainsi, on sait que ies asymptotes dans l'hyperbole et les diamètres conjugués égaux dans

l'ellipse sont représentés par les équations/ =± -.#.

Or, comme les parallélogrammes construits sur un système de diamètres conjugués dans l'hyperbole ont leurs sommets sur les asymptotes, on pourrait croire qu'il en serait de même pour les diamètres égaux de l'ellipse; cependant il n'en est rien. Cela tient à ce que, si Ton change b* en — b 2 , les équations

des asymptotes deviennent y = ± - x V — t J .donc l'analogie

avec les diamètres égaux était illusoire.

88 chapitos rat.