CENTRES DE SIMILITUDE OU D'HOMOTHÉTIE

tiques dans une infinité de positions différentes. En d'autres termes, étant donnée une figure quelconque et son rapport de similitude avec une autre qui doit lui être homothétique, si l'on prend pour centre de similitude un point placé arbitrairement par rapport à la première figure, il sera toujours facile de construire la seconde dans cette position.

185. Supposons que deux angles égaux de ces figures coïncident, ce qui fait que le sommet devenu commun est le centre de similitude, nous allons en conclure, dans un polygone de n côtés, le nombre de conditions nécessaires pour la similitude.

Imaginons donc que le polygone y' a'b' c f . . . se déplace jusqu'à ce que le sommet a' vienne en a, et que la direction a! y' se confonde avec ay; les polygones étant homothétiques par hypothèse, a! b f prendra la direction de ab, de' celle de ac y et ainsi de suite. On aura donc, à partir du centre a de similitude, la suite de rapports égaux

ab n dc ay

ab' ad "" ay 1 +

Mais les sommets du polygone (a étant mis à part), c'est-àdire b, c, . . . , y , sont en nombre n . — i , donc ces rapports, qui sont aussi en nombre n — i, sont réunis par n — 2 équations de condition.

Du reste, on a toujours pu poser la direction qui donne / sur celle qui donne y parmi ces n — 1 sommets; mais les coïncidences des n — 2 autres directions forment encore n — 2 conditions de similitude ; en tout in- — 4-

Si de plus on donne le rapport r de similitude, cela fait encore une condition, et il reste in — 3 conditions à satisfaire. Si r — 1, les polygones sont égaux; il y a donc 2/1 — 3 conditions d'égalité.

IL — r- Tangentes homologues bans les figures homothétiques.

186. Une courbe peut toujours être considérée comme un polygone infinitésimal; donc les directions <xc , ai c' (fig. 61) représenteront celles de deux tangentes à des points homologues. Par conséquent, dans deux courbes homothétiques, les tangentes en des points homologues sont parallèles.

go CHAPITRE TI1I.

187. Cependant, il peut arriver que deux tangentes en des points homologues coïncident au lieu d'être parallèles. Ainsi, imaginons que les directions ay et a'/ se réunissent avec les deux directions Oa'a et Oy/, on voit que les deux tangentes a y et a' y' passeront au centre O de similitude.

S'il ne s'agissait que de polygones, cela serait un cas particulier; mais, relativement à deux courbes homothétiques, il n'en est plus de même, car le cas où, d'un point donné O, on peut mener une tangente ay à une courbe donnée est aussi général que celui où cette tangente est imaginaire. On a donc ce théorème : les tangentes communes à deux courbes homothétiques passent par le centre de similitude.