III. — Centres directs et inverses de similitude

188. Deux polygones ou deux courbes homothétiques ayant des centres de figure , ont un second centre de similitude

On sait qu'on appelle centre d'une figure un point tel, que toute droite, rfbmmée diamètre, qui y passe et se termine de part et d'autre à la figure, se trouve à ce point divisée en deux parties égales. Ainsi, soit C le centre du polygone abca.*., on a, par exemple, aC = Ca, bC = C(3, ce qui montre que les triangles aCb, aC(3 sont égaux, et que ab,afi sont égaux et parallèles. Par conséquent, dans un polygone à centre les côtés sont deux à deux égaux et parallèles.

Il en résulte que, dans une courbe à centre, les tangentes menées aux extrémités d'un diamètre sont parallèles,

Une figure abc a... ayant un centre C, il est évident que toute figure a'b'c'a, homothétique à la première, aura aussi un centre €'; on verra aussi facilement que C et C 7 sont en ligne droite avec le centre de similitude 0, et que toute ligne droite, telle que a<x de l'une des figures, a dans l'autre figure une homologue telle que a' a', parallèle et dans le rapport de similitude.

Cela posé, soit 0' le point où a a! coupe la droite OCC', les

triangles aCO', a'C'O' montrent que -r^jq = r, en indiquant

par rie rapport de similitude; par conséquent les -droi tes ieltas

CENTRES DE SIMILITUDE OU d'dOMOTHÊTIE. QI

que 6(3', cy'y. . ., couperont aussi CC au même point. Ainsi, tandis que le point est le centre direct ou externe de similitude, le point 0', centre inverse ou interne de similitude, ne se trouve que dans les figures homothétiques douées de centre.

189. On reconnaît, d'après ce qui précède, que les deux centres de figure et les deux centres de similitude sont sur une même ligne droite. On a vu aussi que les deux centres de similitude donnaient le même rapport r. On aura donc

OC O'C r ~~OC'~~CO''

ce qui montre que les centres de similitude divisent harmoniquement la droite des centres de figure.