OS ~ R
os
CENTRES DE SIMILITUDE OU d'HOMOTHÉTIE. g3
Ainsi le point S est constant, et les mêmes triangles donnent
Sa R Sa """R''
ce qui caractérise un centre d'homothétie.
De même,
°' s -- 00 '-RT^' os ' = 0(y KTÏÏ>
et S' est le second centre de similitude.
192. On retrouve ici le problème connu des tangentes com* munes à deux courbes; deux d'entre elles ou même toutes les quatre pourraient être imaginaires, mais les centres de similitude n'en seraient pas moins réels, d'après la construction précédente.
Si les circonférences sont égales, le centre externe est à l'infini, et le centre interne au milieu de la ligne 00'; du reste, cela résulte des formules précédentes.
Si les circonférences sont tangentes, le point de contact est un centre interne quand les cercles sont extérieurs, et externe quand ils sont intérieurs.
193. Toute droite passant par un centre de similitude coupe les circonférences sous les mêmes angles y c'est-à-dire que
SaO = Sa'0', SaO = S<z'0';
cela est évident d'après la définition des figures homothétiques; mais aussi les triangles Oaa, 0' a'a 1 étant isocèles, tous leurs angles aigus sont égaux.
194. Par conséquent les droites Oa, OV étant prolongées, concourent au centre C d*un centre tangent en a et a' aux cercles donnés.
En effet, les angles aigus en a et a' étant égaux, le triangle Caa' est isocèle et semblable aux triangles Oaa, 0' a' a'.
195. Aux points a et a menons à la circonférence des tangentes qui concourent en M; de même, aux points a' et a' menons à la circonférence 0' des tangentes qui concourent en M', ces seconde^ tangentes seront respectivement parallèles aux premières.
94 CHAFITIB TI1I.
En effet, a M et a* M' sonl parallèles comme perpendiculaires à deux droites parallèles Oa et O'a'; de même a M et a' M' seront parallèles.
Ainsi les triangles isocèles «Ma, a'M'a' sont semblables entre eux; de même le triangle SMV est semblable àSMa; il en résulte que SM et SM' sont dans le rapport de similitude. Par conséquent aussi ces deux points M et M r sont en ligne droite avec un centre de similitude. Donc, enfin» ces points M et M r sont homologues.
196. La ligne des centres coupe les circonférences en quatre points d et ô, d' et à', qui sont en involution avec les centres de similitude.
En effet,
d'où
de même
d'où
Sd R
Sd' ~ R' '
Sd R
Sô' — R' *
Srf.SÔ Sd'.SÔ'
S'rf.S'<3
Sd.Sd Sd'.S<3'~~
ce qui démontre la proposition ( 127 ), si Ton observe que, dans tous les cas possibles, les deux nombres de cette égalité sont de même signe.
197. Toutes les propriétés démontrées sur la fig. 63 s'appliquent, en effet, à toutes les positions relatives de deux cercles. Sur cette figure même il faut appliquer au point S' tout ce qu'on dit sur le point S: enfin, il faut imaginer d O* et aO prolongés jusqu'à leur rencontre, qui serait, comme le point C, le centre d'un cercle tangent aux cercles O et O' en deux points d et «; seulement ce nouveau cercle embrasserait les cercles donnés.
Une droite passant en S' donne deux cercles analogues à M et M'; chacun a, avec O et O', un contact intérieur d'un côté, extérieur de l'autre.
